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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Puisque π est fini et g´ en´ eriquement 1 : 1, il est facile de voir que π
⋆ ω Y ′ = ω Y . Le
lemme s’ensuit.
17.9. Remarque. Dans le cas des surfaces (n = 2), on peut prendre λ n = 1
d’apr` es le r´ esultat de I. Reider [Rei88], et les arguments d´ evelopp´ es ci-dessus
donnent mL tr` es ample pour
m 4
(L · (K X + 4L))
2
L 2
.
Si on reprend en d´ etail la d´ emonstration avec plus de soin, on peut voir que le
facteur multiplicatif 4 peut ˆ etre remplac´ e par 2. En fait, Fern´ andez del Busto a
montr´ e r´ ecemment que mL est tr` es ample pour
m >
1
2
(L · (K X + 4L) + 1)
2
L 2
+ 3
,
et un exemple de G. Xiao montre que cette borne est essentiellement optimale
(voir [FdB94]).
Le grand th´ eor` eme de Matsusaka entraˆ ıne un certain nombre d’autres r´ esultats
importants de finitude. Un des prototypes de ces r´ esultats est l’´ enonc´ e suivant.
17.10. Corollaire. Il existe seulement un nombre fini de familles de d´ eformations
de vari´ et´ es projectives polaris´ ees (X, L) de dimension n, o` u L est un fibr´ e en droites
ample dont les nombres d’intersection L
n et K X · L
n−1 sont fix´ es.
Preuve. En effet, comme L
n et K X · L
n−1 sont fix´ es, il existe un entier m 0 effectivement calculable tel que m 0 L soit tr` es ample. On obtient alors un plongement
Φ = Φ |m 0 L| : X → P
N tel que Φ
⋆ O(1) = ±m 0 L. L’image Y = Φ(X) est de degr´ e
deg(Y ) =
Y
c 1
O(1)
n =
X
c 1
± m 0 L
n = m
n
0 L
n .
Ceci entraˆ ıne que Y est un point d’une des composantes du sch´ ema de Chow
des sous-vari´ et´ es alg´ ebriques Y de dimension et de degr´ e donn´ es dans P
N pour
lesquelles O(1) ↾Y est divisible par m 0 , plus pr´ ecis´ ement un point de l’ouvert
correspondant aux sous-vari´ et´ es non singuli` eres. Comme l’ouvert en question est un
ouvert de Zariski, il ne peut avoir qu’un nombre fini de composantes irr´ eductibles,
d’o` u le corollaire.
On peut d´ emontrer aussi ` a partir du th´ eor` eme de Matsusaka (ou mˆ eme
directement ` a partir du Cor. (16.9)) qu’il n’existe qu’un nombre fini de familles
de d´ eformation de vari´ et´ es de Fano de dimension n donn´ ee. On utilise pour
cela un r´ esultat fondamental obtenu ind´ ependamment par Koll´ ar-Miyaoka-Mori
[KoMM92] et Campana [Cam92], montrant que le discriminant K
n
X est born´ e par
une constante C n ne d´ ependant que de n. Les bornes effectives obtenues pour
les fibr´ es tr` es amples fournissent alors (au prix de quelques efforts !) une borne
effective pour le nombre de familles de vari´ et´ es de Fano.
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Puisque π est fini et g´ en´ eriquement 1 : 1, il est facile de voir que π
⋆ ω Y ′ = ω Y . Le
lemme s’ensuit.
17.9. Remarque. Dans le cas des surfaces (n = 2), on peut prendre λ n = 1
d’apr` es le r´ esultat de I. Reider [Rei88], et les arguments d´ evelopp´ es ci-dessus
donnent mL tr` es ample pour
m 4
(L · (K X + 4L))
2
L 2
.
Si on reprend en d´ etail la d´ emonstration avec plus de soin, on peut voir que le
facteur multiplicatif 4 peut ˆ etre remplac´ e par 2. En fait, Fern´ andez del Busto a
montr´ e r´ ecemment que mL est tr` es ample pour
m >
1
2
(L · (K X + 4L) + 1)
2
L 2
+ 3
,
et un exemple de G. Xiao montre que cette borne est essentiellement optimale
(voir [FdB94]).
Le grand th´ eor` eme de Matsusaka entraˆ ıne un certain nombre d’autres r´ esultats
importants de finitude. Un des prototypes de ces r´ esultats est l’´ enonc´ e suivant.
17.10. Corollaire. Il existe seulement un nombre fini de familles de d´ eformations
de vari´ et´ es projectives polaris´ ees (X, L) de dimension n, o` u L est un fibr´ e en droites
ample dont les nombres d’intersection L
n et K X · L
n−1 sont fix´ es.
Preuve. En effet, comme L
n et K X · L
n−1 sont fix´ es, il existe un entier m 0 effectivement calculable tel que m 0 L soit tr` es ample. On obtient alors un plongement
Φ = Φ |m 0 L| : X → P
N tel que Φ
⋆ O(1) = ±m 0 L. L’image Y = Φ(X) est de degr´ e
deg(Y ) =
Y
c 1
O(1)
n =
X
c 1
± m 0 L
n = m
n
0 L
n .
Ceci entraˆ ıne que Y est un point d’une des composantes du sch´ ema de Chow
des sous-vari´ et´ es alg´ ebriques Y de dimension et de degr´ e donn´ es dans P
N pour
lesquelles O(1) ↾Y est divisible par m 0 , plus pr´ ecis´ ement un point de l’ouvert
correspondant aux sous-vari´ et´ es non singuli` eres. Comme l’ouvert en question est un
ouvert de Zariski, il ne peut avoir qu’un nombre fini de composantes irr´ eductibles,
d’o` u le corollaire.
On peut d´ emontrer aussi ` a partir du th´ eor` eme de Matsusaka (ou mˆ eme
directement ` a partir du Cor. (16.9)) qu’il n’existe qu’un nombre fini de familles
de d´ eformation de vari´ et´ es de Fano de dimension n donn´ ee. On utilise pour
cela un r´ esultat fondamental obtenu ind´ ependamment par Koll´ ar-Miyaoka-Mori
[KoMM92] et Campana [Cam92], montrant que le discriminant K
n
X est born´ e par
une constante C n ne d´ ependant que de n. Les bornes effectives obtenues pour
les fibr´ es tr` es amples fournissent alors (au prix de quelques efforts !) une borne
effective pour le nombre de familles de vari´ et´ es de Fano.