vi
Table des mati` eres
2. Lissit´ e et rel` evements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3. Frobenius et isomorphisme de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4. Cat´ egories d´ eriv´ ees et suites spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5. Th´ eor` emes de d´ ecomposition, de d´ eg´ en´ erescence et d’annulation
en caract´ eristique p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6. De la caract´ eristique p ` a la caract´ eristique nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7. D´ eveloppements r´ ecents et probl` emes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8. Appendice : parall´ elisabilit´ e et ordinarit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Variations de structures de Hodge, vari´ et´ es de Calabi-Yau
et sym´ etrie miroir
par Jos´ e Bertin et Chris Peters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Partie I. Variations de structures de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1. Fibr´ es de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
2. Connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3. Variations de structures de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4. D´ eg´ en´ erescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5. Fibr´ es de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6. Modules de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Partie II. Sym´ etrie miroir et vari´ et´ es de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7. Introduction ` a la sym´ etrie miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8. Cohomologie d’une hypersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9. Equations de Picard-Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11. Lien avec la th´ eorie de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Table des mati` eres
2. Lissit´ e et rel` evements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3. Frobenius et isomorphisme de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4. Cat´ egories d´ eriv´ ees et suites spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5. Th´ eor` emes de d´ ecomposition, de d´ eg´ en´ erescence et d’annulation
en caract´ eristique p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6. De la caract´ eristique p ` a la caract´ eristique nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7. D´ eveloppements r´ ecents et probl` emes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8. Appendice : parall´ elisabilit´ e et ordinarit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Variations de structures de Hodge, vari´ et´ es de Calabi-Yau
et sym´ etrie miroir
par Jos´ e Bertin et Chris Peters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Partie I. Variations de structures de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1. Fibr´ es de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
2. Connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3. Variations de structures de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4. D´ eg´ en´ erescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5. Fibr´ es de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6. Modules de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Partie II. Sym´ etrie miroir et vari´ et´ es de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7. Introduction ` a la sym´ etrie miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8. Cohomologie d’une hypersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9. Equations de Picard-Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11. Lien avec la th´ eorie de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275