Table des mati` eres
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Th´ eorie de Hodge L
2
et th´ eor` emes d’annulation
par Jean-Pierre Demailly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Partie I : Th´ eorie de Hodge L
2
1. Fibr´ es vectoriels, connexions et courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Op´ erateurs diff´ erentiels sur les fibr´ es vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. R´ esultats fondamentaux sur les op´ erateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es riemanniennes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Vari´ et´ es hermitiennes et k¨ ahl´ eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Identit´ es de la g´ eom´ etrie k¨ ahl´ erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. Groupes H
p,q (X, E) et dualit´ e de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8. Cohomologie des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
9. Suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10. D´ eformations et th´ eor` emes de semi-continuit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Partie II : Estimations L
2 et th´ eor` emes d’annulation
11. Concepts de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
13. M´ ethode de Bochner et th´ eor` emes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14. Estimations L
2 et th´ eor` emes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
15. Th´ eor` emes d’annulation de Nadel et de Kawamata-Viehweg . . . . . . . . . . . . . . 86
16. Sur la conjecture de Fujita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
17. Une version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
par Luc Illusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1. Sch´ emas : diff´ erentielles, complexe de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Th´ eorie de Hodge L
2
et th´ eor` emes d’annulation
par Jean-Pierre Demailly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Partie I : Th´ eorie de Hodge L
2
1. Fibr´ es vectoriels, connexions et courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Op´ erateurs diff´ erentiels sur les fibr´ es vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. R´ esultats fondamentaux sur les op´ erateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es riemanniennes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Vari´ et´ es hermitiennes et k¨ ahl´ eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Identit´ es de la g´ eom´ etrie k¨ ahl´ erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. Groupes H
p,q (X, E) et dualit´ e de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8. Cohomologie des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
9. Suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10. D´ eformations et th´ eor` emes de semi-continuit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Partie II : Estimations L
2 et th´ eor` emes d’annulation
11. Concepts de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
13. M´ ethode de Bochner et th´ eor` emes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14. Estimations L
2 et th´ eor` emes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
15. Th´ eor` emes d’annulation de Nadel et de Kawamata-Viehweg . . . . . . . . . . . . . . 86
16. Sur la conjecture de Fujita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
17. Une version effective du grand th´ eor` eme de Matsusaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
par Luc Illusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1. Sch´ emas : diff´ erentielles, complexe de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116