Avant-propos
Les trois textes regroup´ es dans cet ouvrage sont consacr´ es ` a une pr´ esentation
d’aspects vari´ es – et importants ` a divers titres – de la th´ eorie de Hodge. Ils
reprennent avec des compl´ ements substantiels les expos´ es oraux pr´ esent´ es lors
de la session “l’Etat de la Recherche” sur la Th´ eorie de Hodge, qui a eu lieu ` a
l’Universit´ e Joseph Fourier de Grenoble du Vendredi 25 au Dimanche 27 novembre
1994, sous l’´ egide de la Soci´ et´ e Math´ ematique de France. Le but des auteurs serait
atteint si, conform´ ement ` a l’esprit des sessions l’Etat de la Recherche, cet ouvrage
permettait au lecteur non n´ ecessairement sp´ ecialiste de se faire une id´ ee pr´ ecise de
l’´ etat de l’art.
Les trois th` emes abord´ es (Th´ eorie de Hodge L
2 et th´ eor` emes d’annulation,
Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge, Variations de structures de Hodge et
sym´ etrie miroir) recouvrent une grande diversit´ e de techniques : ´ equations
aux d´ eriv´ ees partielles elliptiques, g´ eom´ etrie diff´ erentielle complexe, g´ eom´ etrie
alg´ ebrique en caract´ eristique p, m´ ethodes cohomologiques et faisceautiques, th´ eorie
des d´ eformations des vari´ et´ es complexes, vari´ et´ es de Calabi-Yau, th´ eorie des singularit´ es . . . Cette accumulation d’outils venant de divers horizons rend sans doute
assez difficile l’acc` es de la th´ eorie au n´ eophyte. Nous esp´ erons que les textes ciapr` es permettront de faciliter quelque peu cet acc` es : un effort particulier a ´ et´ e fait
pour aborder les divers th` emes par leur point de d´ epart le plus naturel, chacun des
textes ´ etant compl´ et´ e par une introduction d´ etaill´ ee et de nombreuses r´ ef´ erences.
Le lecteur y trouvera pos´ es un bon nombre de probl` emes ouverts ayant fait l’objet
d’actives recherches dans les derni` eres ann´ ees.
Les auteurs sont vivement reconnaissants envers la SMF et le MESR pour leur
impulsion d´ ecisive – ` a la fois psychologique et financi` ere – sans laquelle la session
“Th´ eorie de Hodge” de Grenoble n’aurait pu voir le jour. Ils remercient tout particuli` erement le Comit´ e des Sessions l’Etat de la Recherche en les personnes de ses
deux responsables successifs Pierre Schapira et Colette Mœglin, ainsi que Mich` ele
Audin, R´ edactrice en Chef de la revue Panoramas et Synth` eses, pour ses vifs
encouragements ` a y publier le pr´ esent manuscrit. Enfin leurs remerciements vont
au referee pour sa lecture approfondie du texte et ses tr` es nombreuses suggestions
d’am´ elioration.
le 27 novembre 1995,
Jos´ e Bertin
⋆ , Jean-Pierre Demailly
⋆ , Luc Illusie
⋆⋆ , Chris Peters
⋆
⋆ Universit´ e de Grenoble I, Institut Fourier,
BP74, 38402 Saint-Martin d’H` eres, France
⋆⋆ Universit´ e de Paris-Sud, D´ epartement de Math´ ematiques,
Bˆ atiment 425, 91405 Orsay, France
Les trois textes regroup´ es dans cet ouvrage sont consacr´ es ` a une pr´ esentation
d’aspects vari´ es – et importants ` a divers titres – de la th´ eorie de Hodge. Ils
reprennent avec des compl´ ements substantiels les expos´ es oraux pr´ esent´ es lors
de la session “l’Etat de la Recherche” sur la Th´ eorie de Hodge, qui a eu lieu ` a
l’Universit´ e Joseph Fourier de Grenoble du Vendredi 25 au Dimanche 27 novembre
1994, sous l’´ egide de la Soci´ et´ e Math´ ematique de France. Le but des auteurs serait
atteint si, conform´ ement ` a l’esprit des sessions l’Etat de la Recherche, cet ouvrage
permettait au lecteur non n´ ecessairement sp´ ecialiste de se faire une id´ ee pr´ ecise de
l’´ etat de l’art.
Les trois th` emes abord´ es (Th´ eorie de Hodge L
2 et th´ eor` emes d’annulation,
Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge, Variations de structures de Hodge et
sym´ etrie miroir) recouvrent une grande diversit´ e de techniques : ´ equations
aux d´ eriv´ ees partielles elliptiques, g´ eom´ etrie diff´ erentielle complexe, g´ eom´ etrie
alg´ ebrique en caract´ eristique p, m´ ethodes cohomologiques et faisceautiques, th´ eorie
des d´ eformations des vari´ et´ es complexes, vari´ et´ es de Calabi-Yau, th´ eorie des singularit´ es . . . Cette accumulation d’outils venant de divers horizons rend sans doute
assez difficile l’acc` es de la th´ eorie au n´ eophyte. Nous esp´ erons que les textes ciapr` es permettront de faciliter quelque peu cet acc` es : un effort particulier a ´ et´ e fait
pour aborder les divers th` emes par leur point de d´ epart le plus naturel, chacun des
textes ´ etant compl´ et´ e par une introduction d´ etaill´ ee et de nombreuses r´ ef´ erences.
Le lecteur y trouvera pos´ es un bon nombre de probl` emes ouverts ayant fait l’objet
d’actives recherches dans les derni` eres ann´ ees.
Les auteurs sont vivement reconnaissants envers la SMF et le MESR pour leur
impulsion d´ ecisive – ` a la fois psychologique et financi` ere – sans laquelle la session
“Th´ eorie de Hodge” de Grenoble n’aurait pu voir le jour. Ils remercient tout particuli` erement le Comit´ e des Sessions l’Etat de la Recherche en les personnes de ses
deux responsables successifs Pierre Schapira et Colette Mœglin, ainsi que Mich` ele
Audin, R´ edactrice en Chef de la revue Panoramas et Synth` eses, pour ses vifs
encouragements ` a y publier le pr´ esent manuscrit. Enfin leurs remerciements vont
au referee pour sa lecture approfondie du texte et ses tr` es nombreuses suggestions
d’am´ elioration.
le 27 novembre 1995,
Jos´ e Bertin
⋆ , Jean-Pierre Demailly
⋆ , Luc Illusie
⋆⋆ , Chris Peters
⋆
⋆ Universit´ e de Grenoble I, Institut Fourier,
BP74, 38402 Saint-Martin d’H` eres, France
⋆⋆ Universit´ e de Paris-Sud, D´ epartement de Math´ ematiques,
Bˆ atiment 425, 91405 Orsay, France