11. Lien avec la th´ eorie de Hodge mixte
255
Nous allons terminer par une discussion compl´ ementaire sur quelques r´ esultats
de Deligne [Del6] sans donner v´ eritablement les d´ emonstrations. La notion centrale
est celle d’une extension de structure de Hodge mixtes, introduite par Carlson [Ca].
Ici nous ne donnons pas les d´ efinitions ; l’exemple suivant sert comme illustration
de cette notion et suffit pour notre but.
Exemple. Soit Z(−k) la structure de Hodge de dimension 1 et pure de type
(k, k), k ∈ Z donn´ ee par le r´ eseau (2πi)
k Z ⊂ C (structure de Tate). Une extension
de Z(−1) par Z(0) est une suite exacte
0 → Z(0)
α
− − → H
β
− − → Z(−1) → 0
de structures de Hodge mixtes. Une telle extension est classifi´ ee par un nombre
complexe non-nul q. Plus concr` etement : soit H C = C
2 avec la base {e 0 , e 1 } telle
que α(1) = e 1 , β(e 0 ) = 2πi. Alors H Z admet pour base {f 0 = e 0 +
log q
2πi
e 1 , f 1 = e 1 }.
Le choix de la branche de log q est sans importance, un autre choix m` ene ` a
{f 0 + kf 1 , f 1 }, k ∈ Z, une autre base de H Z . Les filtrations par le poids et de
Hodge sont donn´ ees par W 2 = Qe 1 , W 4 = H Q , F
0 = F
1 = Ce 0 , F
2 = 0.
Pour la suite on a besoin d’une version avec param` etres, donc le cadre naturel
est celui de variations de structures de Hodge mixtes sur une base S. Le lecteur
pourra consulter [B-Z§7] pour les d´ efinitions ; pour comprendre la suite l’exemple
suivant suffit.
Exemple. Soit S = ∆
∗ de coordonn´ ee s. Une extension de la “variation”
constante Z(−1) par Z(0) est compl` etement d´ etermin´ ee par une fonction q(s)
m´ eromorphe sur ∆, holomorphe et partout non-nulle sur ∆
∗ d’ordre m ∈ Z. La
structure enti` ere est alors donn´ ee par la base {f 0 = e 0 +
log q(s)
2πi
e 1 , f 1 = e 1 }.
La connexion correspondante est donn´ ee par ∇e 0 = −
dq(s)
2πiq(s)
e 1 , ∇e 1 = 0. La
monodromie locale T v´ erifie T e 0 = e 0 +me 1 , T e 1 = e 1 . Donc N e 0 = me 1 , N e 1 = 0
(N = log T ). Ici aussi les filtrations par le poids et de Hodge sont donn´ ees par
W 2 = Qe 1 , W 4 = H Q , F
0 = F
1 = Ce 0 , F
2 = 0.
Dans notre situation, le fait que Gr
W
2k est de rang 1 (et donc pur de type (k, k))
implique que pour chaque point s voisin du point privilig´ e F
•
s et la filtration par
le poids donnent une structure de Hodge mixte avec h
0,0 = h
1,1 = h
2,2 = h
3,3 = 1.
La structure de Hodge mixte peut ˆ etre d´ ecrite comme dans l’exemple pr´ ec´ edent
par extension it´ er´ ee de structures de Tate Z(−3) par Z(−2), Z(−1), Z(0). Soit
{e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } une base symplectique adapt´ ee ` a la filtration 0 ⊂ W 0 = W 2 ⊂
W 2 = W 3 ⊂ W 4 = W 5 ⊂ W 6 telle que {e 3 } est une base de F
3 , {e 3 , e 2 } de F
2 et
{e 3 , e 2 , e 1 } de F
1 . Les classes d’extension sont alors donn´ ees par q = exp(2πif ) (le
param` etre canonique), q 2 = exp(2πig) (la fonction qui provient de l’accouplement
de Yukawa via (fin) ci-dessus) et q 3 = q par “dualit´ e”. La structure enti` ere sousjacente admet donc pour base {e 0 , e 0 + f (s)e 1 , e 1 +
g(s)
2πi
· e 2 , e 2 +
f (s)
(2πi) 2 · e 3 }.
255
Nous allons terminer par une discussion compl´ ementaire sur quelques r´ esultats
de Deligne [Del6] sans donner v´ eritablement les d´ emonstrations. La notion centrale
est celle d’une extension de structure de Hodge mixtes, introduite par Carlson [Ca].
Ici nous ne donnons pas les d´ efinitions ; l’exemple suivant sert comme illustration
de cette notion et suffit pour notre but.
Exemple. Soit Z(−k) la structure de Hodge de dimension 1 et pure de type
(k, k), k ∈ Z donn´ ee par le r´ eseau (2πi)
k Z ⊂ C (structure de Tate). Une extension
de Z(−1) par Z(0) est une suite exacte
0 → Z(0)
α
− − → H
β
− − → Z(−1) → 0
de structures de Hodge mixtes. Une telle extension est classifi´ ee par un nombre
complexe non-nul q. Plus concr` etement : soit H C = C
2 avec la base {e 0 , e 1 } telle
que α(1) = e 1 , β(e 0 ) = 2πi. Alors H Z admet pour base {f 0 = e 0 +
log q
2πi
e 1 , f 1 = e 1 }.
Le choix de la branche de log q est sans importance, un autre choix m` ene ` a
{f 0 + kf 1 , f 1 }, k ∈ Z, une autre base de H Z . Les filtrations par le poids et de
Hodge sont donn´ ees par W 2 = Qe 1 , W 4 = H Q , F
0 = F
1 = Ce 0 , F
2 = 0.
Pour la suite on a besoin d’une version avec param` etres, donc le cadre naturel
est celui de variations de structures de Hodge mixtes sur une base S. Le lecteur
pourra consulter [B-Z§7] pour les d´ efinitions ; pour comprendre la suite l’exemple
suivant suffit.
Exemple. Soit S = ∆
∗ de coordonn´ ee s. Une extension de la “variation”
constante Z(−1) par Z(0) est compl` etement d´ etermin´ ee par une fonction q(s)
m´ eromorphe sur ∆, holomorphe et partout non-nulle sur ∆
∗ d’ordre m ∈ Z. La
structure enti` ere est alors donn´ ee par la base {f 0 = e 0 +
log q(s)
2πi
e 1 , f 1 = e 1 }.
La connexion correspondante est donn´ ee par ∇e 0 = −
dq(s)
2πiq(s)
e 1 , ∇e 1 = 0. La
monodromie locale T v´ erifie T e 0 = e 0 +me 1 , T e 1 = e 1 . Donc N e 0 = me 1 , N e 1 = 0
(N = log T ). Ici aussi les filtrations par le poids et de Hodge sont donn´ ees par
W 2 = Qe 1 , W 4 = H Q , F
0 = F
1 = Ce 0 , F
2 = 0.
Dans notre situation, le fait que Gr
W
2k est de rang 1 (et donc pur de type (k, k))
implique que pour chaque point s voisin du point privilig´ e F
•
s et la filtration par
le poids donnent une structure de Hodge mixte avec h
0,0 = h
1,1 = h
2,2 = h
3,3 = 1.
La structure de Hodge mixte peut ˆ etre d´ ecrite comme dans l’exemple pr´ ec´ edent
par extension it´ er´ ee de structures de Tate Z(−3) par Z(−2), Z(−1), Z(0). Soit
{e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } une base symplectique adapt´ ee ` a la filtration 0 ⊂ W 0 = W 2 ⊂
W 2 = W 3 ⊂ W 4 = W 5 ⊂ W 6 telle que {e 3 } est une base de F
3 , {e 3 , e 2 } de F
2 et
{e 3 , e 2 , e 1 } de F
1 . Les classes d’extension sont alors donn´ ees par q = exp(2πif ) (le
param` etre canonique), q 2 = exp(2πig) (la fonction qui provient de l’accouplement
de Yukawa via (fin) ci-dessus) et q 3 = q par “dualit´ e”. La structure enti` ere sousjacente admet donc pour base {e 0 , e 0 + f (s)e 1 , e 1 +
g(s)
2πi
· e 2 , e 2 +
f (s)
(2πi) 2 · e 3 }.