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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
par rapport ` a la base {β 0 , β 1 , α 1 , α 0 }. Soit {ω 0 , ω 1 , ν 1 , ν 0 } la base de H
3 (X s , C)
ainsi obtenuee. Elle est adapt´ ee ` a la nouvelle filtration de Hodge :
ω 0
ω 1
ν 1
ν 0
=
1 f (s)
∗
∗
0
1
g(s)
∗
0
0
1
f (s)
0
0
0
1
β 0
β 1
α 1
α 0
.
Si on applique la connexion de Gauss-Manin, en utilisant cette expression, la
transversalit´ e de Griffiths donne :
∇ω 0 = f
′ (s)ω 1 · ds, ∇ω 1 = g
′ (s)ν 1 · ds, ∇ν 1 = f
′ (s)ν 0 · ds
et donc on retrouve l’accouplement de Yukawa :
κ sss = f
′ (s)
2 g
′ (s).
Comme dans le §11 on prend τ = Q(ω 0 , α 1 ) = f (s) comme param` etre canonique
et q = exp 2πiτ . Donc, dans la coordonn´ ee q on a :
∇ω 0
∇ω 1
∇ν 1
∇ν 0
=
1
2πi
0
dq
q
0
0
0 0 2πiq ·
dg
dq
dq
q
0
0 0
0
dq
q
0 0
0
0
ω 0
ω 1
ν 1
ν 0
.
R´ esumons :
Proposition 11.4. Soit f : X → ∆ une d´ eg´ en´ erescence ` a un param` etre de
vari´ et´ es de Calabi-Yau de dimension 3 avec h
2,1 = 1. On suppose que le fibr´ e de
Hodge F
3 est trivialis´ e sur ∆
∗ par ω 0 . Soit {ω 0 , ω 1 } une base de F
2 . On suppose de
plus que la monodromie locale du syst` eme local de cohomologie en dimension 3 est
unipotente de rang 4 et qu’il y a une base symplectique adapt´ ee {α 0 , α 1 , β 1 , β 0 }.
Alors, avec
f (s) = Q(ω 0 , α 1 ),
g(s) = Q(ω 1 , β 1 ),
le param´ etre canonique est :
q = exp 2πi(f (s))
et l’accouplement de Yukawa (normalis´ e) est :
(fin)
κ = 2πiq ·
dg
dq
dq
2πiq
⊗3
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
par rapport ` a la base {β 0 , β 1 , α 1 , α 0 }. Soit {ω 0 , ω 1 , ν 1 , ν 0 } la base de H
3 (X s , C)
ainsi obtenuee. Elle est adapt´ ee ` a la nouvelle filtration de Hodge :
ω 0
ω 1
ν 1
ν 0
=
1 f (s)
∗
∗
0
1
g(s)
∗
0
0
1
f (s)
0
0
0
1
β 0
β 1
α 1
α 0
.
Si on applique la connexion de Gauss-Manin, en utilisant cette expression, la
transversalit´ e de Griffiths donne :
∇ω 0 = f
′ (s)ω 1 · ds, ∇ω 1 = g
′ (s)ν 1 · ds, ∇ν 1 = f
′ (s)ν 0 · ds
et donc on retrouve l’accouplement de Yukawa :
κ sss = f
′ (s)
2 g
′ (s).
Comme dans le §11 on prend τ = Q(ω 0 , α 1 ) = f (s) comme param` etre canonique
et q = exp 2πiτ . Donc, dans la coordonn´ ee q on a :
∇ω 0
∇ω 1
∇ν 1
∇ν 0
=
1
2πi
0
dq
q
0
0
0 0 2πiq ·
dg
dq
dq
q
0
0 0
0
dq
q
0 0
0
0
ω 0
ω 1
ν 1
ν 0
.
R´ esumons :
Proposition 11.4. Soit f : X → ∆ une d´ eg´ en´ erescence ` a un param` etre de
vari´ et´ es de Calabi-Yau de dimension 3 avec h
2,1 = 1. On suppose que le fibr´ e de
Hodge F
3 est trivialis´ e sur ∆
∗ par ω 0 . Soit {ω 0 , ω 1 } une base de F
2 . On suppose de
plus que la monodromie locale du syst` eme local de cohomologie en dimension 3 est
unipotente de rang 4 et qu’il y a une base symplectique adapt´ ee {α 0 , α 1 , β 1 , β 0 }.
Alors, avec
f (s) = Q(ω 0 , α 1 ),
g(s) = Q(ω 1 , β 1 ),
le param´ etre canonique est :
q = exp 2πi(f (s))
et l’accouplement de Yukawa (normalis´ e) est :
(fin)
κ = 2πiq ·
dg
dq
dq
2πiq
⊗3