11. Lien avec la th´ eorie de Hodge mixte
253
{M t } , t ∈ T avec dim T = b = H
1,2 (M t ), consid´ erer le complexifi´ e du cˆ one de
K¨ ahler (voir Remarque 10.3 IV) CK(M t ) de chaque fibre M t ce qui donne une
vari´ et´ e ˆ
T de dimension a + b fibr´ ee sur T , la fibre au dessus de t ´ etant CK(M t ).
Les variations V 1 (M t ) se recollent en une variation V 1 , de base ˆ
T . Les variations
V 2 (M t ) de mˆ eme se recollent en une variation V 2 sur ˆ
T .
On peut alors reformuler la sym` etrie miroir en une conjecture en termes de
variations de structures de Hodge :
Conjecture. Soit {M t } , t ∈ T une famille verselle de vari´ et´ es de Calabi-Yau de
dimension 3 et soit ˆ
T la r´ eunion des complexifi´ es des cˆ ones de K¨ ahler de chaque
fibre M t . Soit V 1 la variation de structures de Hodge au dessus de ˆ
T provenant de la
cohomologie paire des fibres M t (la “d´ eformation quantique” de l’orbite nilpotente
introduite ci-dessus) et soit V 2 la variation au dessus de ˆ
T qui provient de la
cohomologie impaire. Il existe une famille verselle M
∗
t , t ∈ ˆ
T
∗ de vari´ et´ es de CalabiYau de dimension 3 telles que H
2,1 (M
∗
t ) = H
1,1 (M t ) ; H
1,1 (M
∗
t ) = H
2,1 (M t ) et il
y a un isomorphisme ˆ
T − → ˆ
T
∗ qui ´ echange les deux types de variations V 1 et V 2 .
Dans cette formulation il y a cependant une difficult´ e car la variation V 1
d´ epend du choix des param` etres dans le complexifi´ e du cˆ one de K¨ ahler tandis
que ce n’est pas le cas pour V 2 .
On ne va pas discuter plus en d´ etail ce probl` eme, mais plutˆ ot se limiter au cas
b = 1, donc le cas d’une famille verselle ` a un param` etre s. On suppose que la base
de la variation (une courbe quasi-projective) admet une compactification avec un
seul point autour lequel la monodromie locale T est maximalement unipotente.
Soit
0 ⊂ W 0 = W 1 ⊂ W 2 = W 3 ⊂ W 4 = W 5 ⊂ W 6
la filtration par le poids. On suppose que {α 0 , α 1 } est une base de W 2 telle
que N α 0 = 0 et N α 1 = α 0 o` u N = log T . On peut la compl´ eter en une base
symplectique adapt´ ee {α 0 , α 1 , β 1 , β 0 }, c’est-` a-dire Q(α 0 , β 0 ) = Q(α 1 , β 1 ) = 1,
Q(α 0 , α 1 ) = Q(α 0 , β 1 ) = Q(α 1 , β 0 ) = 0 et N β 1 = kα 1 , N β 0 = −β 1 . On suppose
de plus que k = 1, ce qui est le cas dans l’exemple de la quintique du §10.C (c’est
implicite dans les calculs de [Mor1] appendix A, C).
On sait que la filtration F
•
∞ induit une structure pure de poids 2j sur Gr
W
2j ,
j = 0, 1, 2, 3 et donc forc´ ement β 0 est de type (3, 3) et on a F
3
∞ = Cβ 0 car
dim F
3
∞ = 1. Aussi, β 1 est de type (2, 2) et donc F
2
∞ = Cβ 1 + F
3
∞ . De mani` ere
analogue on trouve que F
1
∞ = Cα 1 + F
2
∞ . On peut ´ ecrire F
• (s) = X(s)F
•
∞ avec
X(s) = e
Y (s) , Y (s) ∈
r<0 g
r,−r . On peut alors calculer F
• (s) = X(s)F
•
∞ en
supposant que X(s) a une matrice de la forme
X(s) =
1
0
0
0
f (s)
1
0
0
∗
g(s)
1
0
∗
∗
f (s) 1
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{M t } , t ∈ T avec dim T = b = H
1,2 (M t ), consid´ erer le complexifi´ e du cˆ one de
K¨ ahler (voir Remarque 10.3 IV) CK(M t ) de chaque fibre M t ce qui donne une
vari´ et´ e ˆ
T de dimension a + b fibr´ ee sur T , la fibre au dessus de t ´ etant CK(M t ).
Les variations V 1 (M t ) se recollent en une variation V 1 , de base ˆ
T . Les variations
V 2 (M t ) de mˆ eme se recollent en une variation V 2 sur ˆ
T .
On peut alors reformuler la sym` etrie miroir en une conjecture en termes de
variations de structures de Hodge :
Conjecture. Soit {M t } , t ∈ T une famille verselle de vari´ et´ es de Calabi-Yau de
dimension 3 et soit ˆ
T la r´ eunion des complexifi´ es des cˆ ones de K¨ ahler de chaque
fibre M t . Soit V 1 la variation de structures de Hodge au dessus de ˆ
T provenant de la
cohomologie paire des fibres M t (la “d´ eformation quantique” de l’orbite nilpotente
introduite ci-dessus) et soit V 2 la variation au dessus de ˆ
T qui provient de la
cohomologie impaire. Il existe une famille verselle M
∗
t , t ∈ ˆ
T
∗ de vari´ et´ es de CalabiYau de dimension 3 telles que H
2,1 (M
∗
t ) = H
1,1 (M t ) ; H
1,1 (M
∗
t ) = H
2,1 (M t ) et il
y a un isomorphisme ˆ
T − → ˆ
T
∗ qui ´ echange les deux types de variations V 1 et V 2 .
Dans cette formulation il y a cependant une difficult´ e car la variation V 1
d´ epend du choix des param` etres dans le complexifi´ e du cˆ one de K¨ ahler tandis
que ce n’est pas le cas pour V 2 .
On ne va pas discuter plus en d´ etail ce probl` eme, mais plutˆ ot se limiter au cas
b = 1, donc le cas d’une famille verselle ` a un param` etre s. On suppose que la base
de la variation (une courbe quasi-projective) admet une compactification avec un
seul point autour lequel la monodromie locale T est maximalement unipotente.
Soit
0 ⊂ W 0 = W 1 ⊂ W 2 = W 3 ⊂ W 4 = W 5 ⊂ W 6
la filtration par le poids. On suppose que {α 0 , α 1 } est une base de W 2 telle
que N α 0 = 0 et N α 1 = α 0 o` u N = log T . On peut la compl´ eter en une base
symplectique adapt´ ee {α 0 , α 1 , β 1 , β 0 }, c’est-` a-dire Q(α 0 , β 0 ) = Q(α 1 , β 1 ) = 1,
Q(α 0 , α 1 ) = Q(α 0 , β 1 ) = Q(α 1 , β 0 ) = 0 et N β 1 = kα 1 , N β 0 = −β 1 . On suppose
de plus que k = 1, ce qui est le cas dans l’exemple de la quintique du §10.C (c’est
implicite dans les calculs de [Mor1] appendix A, C).
On sait que la filtration F
•
∞ induit une structure pure de poids 2j sur Gr
W
2j ,
j = 0, 1, 2, 3 et donc forc´ ement β 0 est de type (3, 3) et on a F
3
∞ = Cβ 0 car
dim F
3
∞ = 1. Aussi, β 1 est de type (2, 2) et donc F
2
∞ = Cβ 1 + F
3
∞ . De mani` ere
analogue on trouve que F
1
∞ = Cα 1 + F
2
∞ . On peut ´ ecrire F
• (s) = X(s)F
•
∞ avec
X(s) = e
Y (s) , Y (s) ∈
r<0 g
r,−r . On peut alors calculer F
• (s) = X(s)F
•
∞ en
supposant que X(s) a une matrice de la forme
X(s) =
1
0
0
0
f (s)
1
0
0
∗
g(s)
1
0
∗
∗
f (s) 1