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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
o` u
K(q) = deg(M ) +
∞
d=1
n d
d
3 q
d
1 − q d ,
avec n d (d 1) le nombre de courbes rationnelles de degr´ e d sur M (ou l’invariant
de Gromov-Witten si n´ ecessaire) et donc ∇ A est enti` erement d´ efinie en termes de
la g´ eom´ etrie de M .
On peut g´ en´ eraliser cette construction de la variation nouvelle pour une orbite
nilpotente ` a plusieurs param` etres. Voir [C-K-S]. Alors, en utilisant un syst` eme de
a g´ en´ erateurs pour le cˆ one de K¨ ahler de M , on trouve une variation de structure
de Hodge qui d´ epend de a param` etres, somme d’une variation ` a nombres de
Hodge (1, a, a, 1) et une variation constante V 2 (M ) ` a nombres de Hodge (1, b, b, 1).
Ensuite, la connexion de la premi` ere variation doit ˆ etre modifi´ ee en utilisant le
nombre des courbes rationnelles dans toutes les classes de cohomologie (ou mieux
les invariants de Gromov-Witten correspondants). Pour obtenir cette “d´ eformation
quantique”, soit f 0 le g´ en´ erateur positif de H
0 (M ), f 2 le g´ en´ erateur dual de
H
4 (M ), puis {f
1
1 , . . . , f
a
1 } une base enti` ere de H
2 (M ), {f
1
2 , . . . , f
a
2 } la base duale de
H
4 (M ), et finalement soient q 1 , · · · , q a des param` etres dans (∆
∗ )
a . On introduit :
K ijk := f
i
1 · f
j
1 · f
k
1 +
η
n ijk (η)
q
η
1 − q η
o` u η ∈ H
4 (M ) parcourt les classes de courbes rationnelles sur M , n ijk (η)
l’invariant de Gromov-Witten (voir [D-S]), bri` evement n ijk (η) est le nombre de
courbes pseudo-holomorphes f : P
1 → M de classe η telles que f (0) ∈ D j ,
f (1) ∈ D j , f (∞) ∈ D k o` u D i , D j , D k sont des diviseurs effectifs qui repr´ esentent
les classes f
i
1 , f
j
1 , f
k
1 ) et o` u on pose q
η = q
c 1
1 · · · q
c a
a , c i = η · f
i
1 . La connexion ∇ A
alors est donn´ ee par
∇ A f 0 =
a
i=1
f
i
1 ⊗
dq i
q i
;
∇ A f
k
1 =
a
i,j=1
K ijk f
j
2 ⊗
dq i
q i
, k = 1, . . . , a;
∇ A f 2 = 0.
Voir [B-S], §3.1 et [Mor5] pour les d´ etails. Appelons cette variation V 1 (M ).
La sym´ etrie miroir pr´ edit qu’il existe une famille verselle de vari´ et´ es de CalabiYau “miroir” avec h
2,1 = a et h
1,1 = b. Il semble naturel de conjecturer que la
variation V 2 (M ) ci-dessus co¨ ıncide avec la variation donn´ ee par le troisi` eme groupe
de cohomologie de la famille “miroir”, du moins si on restreint cette famille ` a un
ouvert de coordonn´ ees avec des coordonn´ ees convenables.
Apparemment, dans cette construction il y a un d´ efaut de sym´ etrie entre les
param` etres a et b. Pour restituer cette sym´ etrie, il faut partir d’une famille verselle
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
o` u
K(q) = deg(M ) +
∞
d=1
n d
d
3 q
d
1 − q d ,
avec n d (d 1) le nombre de courbes rationnelles de degr´ e d sur M (ou l’invariant
de Gromov-Witten si n´ ecessaire) et donc ∇ A est enti` erement d´ efinie en termes de
la g´ eom´ etrie de M .
On peut g´ en´ eraliser cette construction de la variation nouvelle pour une orbite
nilpotente ` a plusieurs param` etres. Voir [C-K-S]. Alors, en utilisant un syst` eme de
a g´ en´ erateurs pour le cˆ one de K¨ ahler de M , on trouve une variation de structure
de Hodge qui d´ epend de a param` etres, somme d’une variation ` a nombres de
Hodge (1, a, a, 1) et une variation constante V 2 (M ) ` a nombres de Hodge (1, b, b, 1).
Ensuite, la connexion de la premi` ere variation doit ˆ etre modifi´ ee en utilisant le
nombre des courbes rationnelles dans toutes les classes de cohomologie (ou mieux
les invariants de Gromov-Witten correspondants). Pour obtenir cette “d´ eformation
quantique”, soit f 0 le g´ en´ erateur positif de H
0 (M ), f 2 le g´ en´ erateur dual de
H
4 (M ), puis {f
1
1 , . . . , f
a
1 } une base enti` ere de H
2 (M ), {f
1
2 , . . . , f
a
2 } la base duale de
H
4 (M ), et finalement soient q 1 , · · · , q a des param` etres dans (∆
∗ )
a . On introduit :
K ijk := f
i
1 · f
j
1 · f
k
1 +
η
n ijk (η)
q
η
1 − q η
o` u η ∈ H
4 (M ) parcourt les classes de courbes rationnelles sur M , n ijk (η)
l’invariant de Gromov-Witten (voir [D-S]), bri` evement n ijk (η) est le nombre de
courbes pseudo-holomorphes f : P
1 → M de classe η telles que f (0) ∈ D j ,
f (1) ∈ D j , f (∞) ∈ D k o` u D i , D j , D k sont des diviseurs effectifs qui repr´ esentent
les classes f
i
1 , f
j
1 , f
k
1 ) et o` u on pose q
η = q
c 1
1 · · · q
c a
a , c i = η · f
i
1 . La connexion ∇ A
alors est donn´ ee par
∇ A f 0 =
a
i=1
f
i
1 ⊗
dq i
q i
;
∇ A f
k
1 =
a
i,j=1
K ijk f
j
2 ⊗
dq i
q i
, k = 1, . . . , a;
∇ A f 2 = 0.
Voir [B-S], §3.1 et [Mor5] pour les d´ etails. Appelons cette variation V 1 (M ).
La sym´ etrie miroir pr´ edit qu’il existe une famille verselle de vari´ et´ es de CalabiYau “miroir” avec h
2,1 = a et h
1,1 = b. Il semble naturel de conjecturer que la
variation V 2 (M ) ci-dessus co¨ ıncide avec la variation donn´ ee par le troisi` eme groupe
de cohomologie de la famille “miroir”, du moins si on restreint cette famille ` a un
ouvert de coordonn´ ees avec des coordonn´ ees convenables.
Apparemment, dans cette construction il y a un d´ efaut de sym´ etrie entre les
param` etres a et b. Pour restituer cette sym´ etrie, il faut partir d’une famille verselle