11. Lien avec la th´ eorie de Hodge mixte
251
Pour les vari´ et´ es de Calabi-Yau M de dimension 3 on a un diamant de Hodge
(voir le §7) :
h
3,3 = 1
h
3,2 = 0
h
2,3 = 0
h
3,1 = 0 h
2,2 = a h
1,3 = 0
h
3,0 = 1 h
1,2 = b h
2,1 = b h
0,3 = 1
h
2,0 = 0 h
1,1 = a h
0,2 = 0
h
1,0 = 0
h
0,1 = 0
h
0,0 = 1
et la variation de Hodge “nouvelle” a pour nombres de Hodge :
h
3,0
nouveau = 2 = h
0,3
nouveau , h
2,1
nouveau = h
1,2
nouveau = a + b = h
1,1 + h
1,2 .
On pourra regarder cette variation comme suit. Le choix d’une classe de K¨ ahler
d´ etermine une variation ` a un param` etre, de poids 3 et ` a nombres de Hodge
(2, a + b, a + b, 2). Cette structure est somme directe d’une variation ` a nombres
de Hodge (1, a, a, 1), la partie qui provient de la cohomologie paire de M , et une
variation constante ` a nombres de Hodge (1, b, b, 1) provenant de la cohomologie
impaire. A priori la variation d´ epend du param` etre choisi.
Exemple 11.3. Supposons a = 1 et que H
+ (M ) = H
0 ⊕ H
2 ⊕ H
4 ⊕ H
6 =
3
k=0 Zf k est la cohomologie paire avec f i le g´ en´ erateur positif de H
2i (M ). Si on
utilise le param` etre q(s) =
log(s)
2πi
sur ∆
∗ on trouve que la connexion plate pour
la nouvelle variation dans la base {f 0 , f 1 , f 2 , f 3 } s’´ ecrit
∇ =
0
dq
q
0
0
0 0 deg(M )
dq
q
0
0 0
0
dq
q
0 0
0
0
Dans le cadre de la sym´ etrie miroir la variation de l’exemple pr´ ecedente doit
ˆ etre modifi´ ee de telle sorte que les nombres des courbes rationnelles de chaque degr´ e
entrent dans la connexion (“d´ eformation quantique ou corrections instantons”).
Les physiciens ont propos´ e d’introduire la connexion plate, appel´ ee connexion du
mod` ele A, donn´ ee en termes de la base {f 0 , f 1 , f 2 , f 3 } par :
∇ A =
0
dq
q
0
0
0 0 K(q)
dq
q
0
0 0
0
dq
q
0 0
0
0
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Pour les vari´ et´ es de Calabi-Yau M de dimension 3 on a un diamant de Hodge
(voir le §7) :
h
3,3 = 1
h
3,2 = 0
h
2,3 = 0
h
3,1 = 0 h
2,2 = a h
1,3 = 0
h
3,0 = 1 h
1,2 = b h
2,1 = b h
0,3 = 1
h
2,0 = 0 h
1,1 = a h
0,2 = 0
h
1,0 = 0
h
0,1 = 0
h
0,0 = 1
et la variation de Hodge “nouvelle” a pour nombres de Hodge :
h
3,0
nouveau = 2 = h
0,3
nouveau , h
2,1
nouveau = h
1,2
nouveau = a + b = h
1,1 + h
1,2 .
On pourra regarder cette variation comme suit. Le choix d’une classe de K¨ ahler
d´ etermine une variation ` a un param` etre, de poids 3 et ` a nombres de Hodge
(2, a + b, a + b, 2). Cette structure est somme directe d’une variation ` a nombres
de Hodge (1, a, a, 1), la partie qui provient de la cohomologie paire de M , et une
variation constante ` a nombres de Hodge (1, b, b, 1) provenant de la cohomologie
impaire. A priori la variation d´ epend du param` etre choisi.
Exemple 11.3. Supposons a = 1 et que H
+ (M ) = H
0 ⊕ H
2 ⊕ H
4 ⊕ H
6 =
3
k=0 Zf k est la cohomologie paire avec f i le g´ en´ erateur positif de H
2i (M ). Si on
utilise le param` etre q(s) =
log(s)
2πi
sur ∆
∗ on trouve que la connexion plate pour
la nouvelle variation dans la base {f 0 , f 1 , f 2 , f 3 } s’´ ecrit
∇ =
0
dq
q
0
0
0 0 deg(M )
dq
q
0
0 0
0
dq
q
0 0
0
0
Dans le cadre de la sym´ etrie miroir la variation de l’exemple pr´ ecedente doit
ˆ etre modifi´ ee de telle sorte que les nombres des courbes rationnelles de chaque degr´ e
entrent dans la connexion (“d´ eformation quantique ou corrections instantons”).
Les physiciens ont propos´ e d’introduire la connexion plate, appel´ ee connexion du
mod` ele A, donn´ ee en termes de la base {f 0 , f 1 , f 2 , f 3 } par :
∇ A =
0
dq
q
0
0
0 0 K(q)
dq
q
0
0 0
0
dq
q
0 0
0
0