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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
11.2. Exemple. A. Soit M une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte de dimension d. On
prend H =
p H
p (M, C), W ℓ =
aℓ H
a (M, R).
B. Soit M t une famille de vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes sur un disque ´ epoint´ e. On suppose
que la monodromie sur H
d (M t ) est unipotente. Alors N := log T satisfait ` a
N
d+1 = 0 et il existe une unique filtration 0 ⊂ W 0 ⊂ W 1 . . . ⊂ W 2d−1 ⊂ W 2d
de H
d (M t , R) telle que N W ℓ ⊂ W ℓ−2 et N
ℓ induit un isomorphisme entre Gr
W
d+ℓ
et Gr
W
d−ℓ (§4.B ou [S] pour les d´ etails). On a introduit (§4.B) la filtration F
•
∞ sur
H
d (M t ). W • et F
•
∞ d´ efinissent une structure de Hodge mixte. Voir [S].
Dans l’exemple B on a mˆ eme de plus :
1) la forme de polarisation Q sur H
d (M t ) est telle que
Q(N u, v) + Q(u, N v) = 0.
2) Q(F
p , F
d−p+1 ) = 0 ;
3) On a une d´ ecomposition de Lefschetz Gr
W
d+ℓ =
j0 N
j (P ℓ+2j ) o` u
P ℓ = ker N
ℓ+1 : Gr
W
d+ℓ → Gr
W
d−ℓ−2
telle que Q(−, N
ℓ −) polarise la structure de Hodge par le poids d+ℓ sur Gr
W
d+ℓ .
On dit dans ce cas que N polarise la structure de Hodge mixte.
Dans l’exemple A on ne peut pas utiliser l’op´ erateur de Lefschetz L (multiplication avec la classe de K¨ ahler) pour polariser la structure de Hodge mixte car
celui-ci est de type (1, 1). Il faut plutˆ ot utiliser son adjoint Λ (voir [Dem], §6A). On
peut alors v´ erifier [C-K] que la th´ eorie classique de la d´ ecomposition de Lefschetz
se traduit en l’´ enonc´ e que la structure de Hodge mixte de l’exemple A est polaris´ ee
par Λ avec la forme Q(a, b) = (−1)
1
2 p(p−1)
M
a ∪ b, o` u a ∈ H
p et b ∈ H
2d−p .
Il y a une r´ eciproque au th´ eor` eme de l’orbite nilpotente disant que, ´ etant
donn´ ee une structure de Hodge mixte (F
• , W • ) sur H polaris´ ee par N avec
N
d+1 = 0, la filtration
F
•
nouveau := exp(
− log s
2πi
N )F
•
est une structure de Hodge pure de poids d pour s petit. On obtient mˆ eme une
variation de structure de Hodge polaris´ ee par Q. Voir [C-K-S].
En appliquant cela dans l’exemple A on trouve
h
d−q,q
nouveau =
a
h
a,q
Nous allons voir comment cette id´ ee permet de sugg´ erer une dualit´ e au niveau
des variations de structures de Hodge li´ ee ` a la sym´ etrie miroir.
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
11.2. Exemple. A. Soit M une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte de dimension d. On
prend H =
p H
p (M, C), W ℓ =
aℓ H
a (M, R).
B. Soit M t une famille de vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes sur un disque ´ epoint´ e. On suppose
que la monodromie sur H
d (M t ) est unipotente. Alors N := log T satisfait ` a
N
d+1 = 0 et il existe une unique filtration 0 ⊂ W 0 ⊂ W 1 . . . ⊂ W 2d−1 ⊂ W 2d
de H
d (M t , R) telle que N W ℓ ⊂ W ℓ−2 et N
ℓ induit un isomorphisme entre Gr
W
d+ℓ
et Gr
W
d−ℓ (§4.B ou [S] pour les d´ etails). On a introduit (§4.B) la filtration F
•
∞ sur
H
d (M t ). W • et F
•
∞ d´ efinissent une structure de Hodge mixte. Voir [S].
Dans l’exemple B on a mˆ eme de plus :
1) la forme de polarisation Q sur H
d (M t ) est telle que
Q(N u, v) + Q(u, N v) = 0.
2) Q(F
p , F
d−p+1 ) = 0 ;
3) On a une d´ ecomposition de Lefschetz Gr
W
d+ℓ =
j0 N
j (P ℓ+2j ) o` u
P ℓ = ker N
ℓ+1 : Gr
W
d+ℓ → Gr
W
d−ℓ−2
telle que Q(−, N
ℓ −) polarise la structure de Hodge par le poids d+ℓ sur Gr
W
d+ℓ .
On dit dans ce cas que N polarise la structure de Hodge mixte.
Dans l’exemple A on ne peut pas utiliser l’op´ erateur de Lefschetz L (multiplication avec la classe de K¨ ahler) pour polariser la structure de Hodge mixte car
celui-ci est de type (1, 1). Il faut plutˆ ot utiliser son adjoint Λ (voir [Dem], §6A). On
peut alors v´ erifier [C-K] que la th´ eorie classique de la d´ ecomposition de Lefschetz
se traduit en l’´ enonc´ e que la structure de Hodge mixte de l’exemple A est polaris´ ee
par Λ avec la forme Q(a, b) = (−1)
1
2 p(p−1)
M
a ∪ b, o` u a ∈ H
p et b ∈ H
2d−p .
Il y a une r´ eciproque au th´ eor` eme de l’orbite nilpotente disant que, ´ etant
donn´ ee une structure de Hodge mixte (F
• , W • ) sur H polaris´ ee par N avec
N
d+1 = 0, la filtration
F
•
nouveau := exp(
− log s
2πi
N )F
•
est une structure de Hodge pure de poids d pour s petit. On obtient mˆ eme une
variation de structure de Hodge polaris´ ee par Q. Voir [C-K-S].
En appliquant cela dans l’exemple A on trouve
h
d−q,q
nouveau =
a
h
a,q
Nous allons voir comment cette id´ ee permet de sugg´ erer une dualit´ e au niveau
des variations de structures de Hodge li´ ee ` a la sym´ etrie miroir.