11. Lien avec la th´ eorie de Hodge mixte
249
On peut alors aussi calculer l’accouplement de Yukawa normalis´ e pour ces
quatre exemples et trouver les invariants de Gromov-Witten dans chaque cas :
degr´ e type d’intersection = (3, 3)
type d’intersection = (2, 4)
1 1053
1280
2 52812
92288
3 6424326
15655168
4 1139448384
3883902528
5 249787892583
1190923282176
6 62660964509532
417874605342336
7 17256453900822009
160964588281789696
8 5088842568426162960
66392895625625639488
9 1581250717976557887945
28855060316616488359936
10 512045241907209106828608 13069047760169269024822656
degr´ e type d’intersection = (2, 2, 2, 2)
type d’intersection = (2, 2, 3)
1 512
720
2 9728
22428
3 416256
1611504
4 25703936
168199200
5 1957983744
21676931712
6 170535923200
3195557904564
7 16300354777600
517064870788848
8 1668063096387072
89580965599606752
9 179845756064329728
16352303769375910848
10 20206497983891554816
3110686153486233022944
Des travaux r´ ecents (Ellingsrud, Libgober) confirment ces nombres, du moins en
petit degr´ e.
11. Lien avec la th´ eorie de Hodge mixte
Dans ce paragraphe on explique comment la th´ eorie de Hodge mixte permet de formuler un
aspect du ph´ enom` ene de sym´ etrie.
Rappelons bri` evement quelques notions de base qui compl` etent les d´ efinitions
du §4.A.
11.1. D´ efinition. Soit H R un espace vectoriel r´ eel de dimension finie et H =
H R ⊗ C. Une structure de Hodge mixte (r´ eelle) sur H consiste en une filtration
croissante W • de H d´ efinie sur H R et une filtration d´ ecroissante F
• de H telles
que F
• d´ efinit sur Gr
W
ℓ une structure de Hodge par le poids ℓ.
249
On peut alors aussi calculer l’accouplement de Yukawa normalis´ e pour ces
quatre exemples et trouver les invariants de Gromov-Witten dans chaque cas :
degr´ e type d’intersection = (3, 3)
type d’intersection = (2, 4)
1 1053
1280
2 52812
92288
3 6424326
15655168
4 1139448384
3883902528
5 249787892583
1190923282176
6 62660964509532
417874605342336
7 17256453900822009
160964588281789696
8 5088842568426162960
66392895625625639488
9 1581250717976557887945
28855060316616488359936
10 512045241907209106828608 13069047760169269024822656
degr´ e type d’intersection = (2, 2, 2, 2)
type d’intersection = (2, 2, 3)
1 512
720
2 9728
22428
3 416256
1611504
4 25703936
168199200
5 1957983744
21676931712
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3195557904564
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8 1668063096387072
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9 179845756064329728
16352303769375910848
10 20206497983891554816
3110686153486233022944
Des travaux r´ ecents (Ellingsrud, Libgober) confirment ces nombres, du moins en
petit degr´ e.
11. Lien avec la th´ eorie de Hodge mixte
Dans ce paragraphe on explique comment la th´ eorie de Hodge mixte permet de formuler un
aspect du ph´ enom` ene de sym´ etrie.
Rappelons bri` evement quelques notions de base qui compl` etent les d´ efinitions
du §4.A.
11.1. D´ efinition. Soit H R un espace vectoriel r´ eel de dimension finie et H =
H R ⊗ C. Une structure de Hodge mixte (r´ eelle) sur H consiste en une filtration
croissante W • de H d´ efinie sur H R et une filtration d´ ecroissante F
• de H telles
que F
• d´ efinit sur Gr
W
ℓ une structure de Hodge par le poids ℓ.