248
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
Voici le tableau des nombres n d pour d 10 :
1 2875
2 609250
3 317206375
4 242467530000
5 229305888887625
6 248249742118022000
7 295091050570845659250
8 375632160937476603550000
9 503840510416985243645106250
10 704288164978454686113488249750
10.7. Autres exemples. Voir [L-T] et [B-S], §5 pour les d´ etails. Les seules
intersections compl` etes de P
3+r d´ efinies par des degr´ es d 1 , . . . , d r donnant une
vari´ et´ e de Calabi-Yau sont celles avec degr´ es (3, 3), (2, 4), (2, 2, 2, 2) et (2, 2, 3). On
a dans ces exemples h
1,1 = 1 et il y a une construction naturelle de la famille
miroir (conjecturale) (voir le §7.B). On commence par d´ efinir des polynˆ omes de
Laurent f j (u, X) en les variables X j :
(3, 3) f 1 = 1 − (u 1 X 1 + u 2 X 2 + u 3 X 3 )
f 2 = 1 − (u 4 X 4 + u 5 X 5 + u 6 (X 1 · · · X 5 )
−1 )
(2, 4) f 1 = 1 − (u 1 X 1 + u 2 X 2 )
f 2 = 1 − (u 3 X 3 + u 4 X 4 + u 5 X 5 + u 6 (X 1 · · · X 5 )
−1 )
(2, 2, 2, 2) f 1 = 1 − (u 1 X 1 + u 2 X 2 )
f 2 = 1 − (u 3 X 3 + u 4 X 4 ))
f 3 = 1 − (u 5 X 5 + u 6 X 6
f 4 = 1 − (u 7 X 7 + u 8 (X 1 · · · X 7 )
−1 )
(2, 2, 3) f 1 = 1 − (u 1 X 1 + u 2 X 2 )
f 2 = 1 − (u 3 X 3 + u 4 X 4 )
f 3 = 1 − (u 5 X 5 + u 6 X 6 + u 7 (X 1 · · · X 6 )
−1 ).
Ces ´ equations d´ efinissent une famille Y z d’intersections compl` etes dans le tore
alg´ ebrique (C
∗ )
3+r param´ etr´ ee par z =
u j . Il existe une compactification lisse de
∪Y z ayant comme fibres des vari´ et´ es de Calabi-Yau. Pour cette famille on calcule
l’´ equation de Picard-Fuchs :
Θ
4 − µz(Θ + α 1 )(Θ + α 2 )(Θ + α 3 )(Θ + α 4 ) = 0
o` u Θ = z
∂
∂z
et les coefficients µ, (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) sont donn´ es dans le tableau
suivant :
(3, 3) µ = 3
6
(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (1/3, 1/3, 2/3, 2/3)
(2, 4) µ = 2
10
(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (1/4, 2/4, 2/4, 3/4)
(2, 2, 2, 2) µ = 2
8
(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (1/4, 1/4, 1/4, 1/4)
(2, 2, 3) µ = 2
4 3
3
(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (1/3, 1/2, 1/2, 2/3)
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
Voici le tableau des nombres n d pour d 10 :
1 2875
2 609250
3 317206375
4 242467530000
5 229305888887625
6 248249742118022000
7 295091050570845659250
8 375632160937476603550000
9 503840510416985243645106250
10 704288164978454686113488249750
10.7. Autres exemples. Voir [L-T] et [B-S], §5 pour les d´ etails. Les seules
intersections compl` etes de P
3+r d´ efinies par des degr´ es d 1 , . . . , d r donnant une
vari´ et´ e de Calabi-Yau sont celles avec degr´ es (3, 3), (2, 4), (2, 2, 2, 2) et (2, 2, 3). On
a dans ces exemples h
1,1 = 1 et il y a une construction naturelle de la famille
miroir (conjecturale) (voir le §7.B). On commence par d´ efinir des polynˆ omes de
Laurent f j (u, X) en les variables X j :
(3, 3) f 1 = 1 − (u 1 X 1 + u 2 X 2 + u 3 X 3 )
f 2 = 1 − (u 4 X 4 + u 5 X 5 + u 6 (X 1 · · · X 5 )
−1 )
(2, 4) f 1 = 1 − (u 1 X 1 + u 2 X 2 )
f 2 = 1 − (u 3 X 3 + u 4 X 4 + u 5 X 5 + u 6 (X 1 · · · X 5 )
−1 )
(2, 2, 2, 2) f 1 = 1 − (u 1 X 1 + u 2 X 2 )
f 2 = 1 − (u 3 X 3 + u 4 X 4 ))
f 3 = 1 − (u 5 X 5 + u 6 X 6
f 4 = 1 − (u 7 X 7 + u 8 (X 1 · · · X 7 )
−1 )
(2, 2, 3) f 1 = 1 − (u 1 X 1 + u 2 X 2 )
f 2 = 1 − (u 3 X 3 + u 4 X 4 )
f 3 = 1 − (u 5 X 5 + u 6 X 6 + u 7 (X 1 · · · X 6 )
−1 ).
Ces ´ equations d´ efinissent une famille Y z d’intersections compl` etes dans le tore
alg´ ebrique (C
∗ )
3+r param´ etr´ ee par z =
u j . Il existe une compactification lisse de
∪Y z ayant comme fibres des vari´ et´ es de Calabi-Yau. Pour cette famille on calcule
l’´ equation de Picard-Fuchs :
Θ
4 − µz(Θ + α 1 )(Θ + α 2 )(Θ + α 3 )(Θ + α 4 ) = 0
o` u Θ = z
∂
∂z
et les coefficients µ, (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) sont donn´ es dans le tableau
suivant :
(3, 3) µ = 3
6
(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (1/3, 1/3, 2/3, 2/3)
(2, 4) µ = 2
10
(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (1/4, 2/4, 2/4, 3/4)
(2, 2, 2, 2) µ = 2
8
(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (1/4, 1/4, 1/4, 1/4)
(2, 2, 3) µ = 2
4 3
3
(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (1/3, 1/2, 1/2, 2/3)