10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir
247
par le groupe
G =
(a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ∈ µ
5
5 | a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 = 1
o` u µ 5 est le groupe des racines d’unit´ e d’ordre 5. En effet nous avons ´ etudi´ e
cette famille dans les paragraphes pr´ ec´ edents (l’exemple 9.7) et les classes des
formes res(Ω j ), j = 1, 2, 3, 4 constituent une base de la partie G-invariante de
la cohomologie, et donc une base pour H
3 (X s , C). L’´ equation de Picard-Fuchs
trouv´ ee est l’´ equation de ω 1 , r´ esidu de Ω 1 , regard´ e comme 3-forme holomorphe
sur X s .
La sym´ etrie miroir pr´ edit en outre que l’accouplement de Yukawa, proprement normalis´ e, admet un q-d´ eveloppement
a d q
d tel que les coefficients a d
d´ eterminent le nombre n d des courbes rationnelles de degr´ e d sur le membre
g´ en´ erique de la famille Y t . Ici q est le param` etre canonique du §10.B.
Malheureusement ce nombre n’est pas ` a priori fini. En effet, il existe des
vari´ et´ es de Calabi-Yau o` u on a un nombre infini de courbes rationnelles de degr´ e
fix´ e. Par exemple, on consid` ere un revˆ etement double de P
3 ramifi´ e le long d’une
surface S de degr´ e 8. Il y a une famille de dimension 1 de courbes rationnelles
ayant pour image une droite trois fois tangente ` a la surface S (cela fait une
condition pour une droite d’ˆ etre tangente ` a une surface). En d´ epit de cela, Clemens
a conjectur´ e que pour une quintique g´ en´ erale il n’y a qu’un nombre fini de courbes
rationnelles d’un degr´ e donn´ e. Mais si on ne veut pas admettre cette conjecture,
il faut trouver une interpr´ etation diff´ erente pour les nombres n d . Une suggestion
est d’interpr´ eter ce nombres dans le cadre de la g´ eom´ etrie symplectique comme les
invariants de Gromov-Witten pour des courbes rationnelles de degr´ e d. Mais c’est
une autre histoire pour laquelle on consultera [Mor3], [D-S]. Ceci dit, on a :
10.6. Conjecture. Si, dans la formule (dev) du §10.A, on choisit c 1 = −5 et
c 2 = 5
−5 en ´ ecrivant
(Myst)
κ τ τ τ = n 0 +
∞
d=1
n d d
3 q
d
1 − q d
on a n 0 = 5 et pour d 1, n d est l’invariant de Gromov-Witten pour des courbes
rationnelles de degr´ e d sur une hypersurface g´ en´ erique dans P
4 de degr´ e 5. Ce
nombre co¨ ıncide avec le nombre de courbes rationnelles de degr´ e d si la conjecture
de Clemens est vraie.
Cette pr´ ediction a ´ et´ e v´ erifi´ ee pour d 3. Voir [Mor2] pour les r´ ef´ erences.
247
par le groupe
G =
(a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ∈ µ
5
5 | a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 = 1
o` u µ 5 est le groupe des racines d’unit´ e d’ordre 5. En effet nous avons ´ etudi´ e
cette famille dans les paragraphes pr´ ec´ edents (l’exemple 9.7) et les classes des
formes res(Ω j ), j = 1, 2, 3, 4 constituent une base de la partie G-invariante de
la cohomologie, et donc une base pour H
3 (X s , C). L’´ equation de Picard-Fuchs
trouv´ ee est l’´ equation de ω 1 , r´ esidu de Ω 1 , regard´ e comme 3-forme holomorphe
sur X s .
La sym´ etrie miroir pr´ edit en outre que l’accouplement de Yukawa, proprement normalis´ e, admet un q-d´ eveloppement
a d q
d tel que les coefficients a d
d´ eterminent le nombre n d des courbes rationnelles de degr´ e d sur le membre
g´ en´ erique de la famille Y t . Ici q est le param` etre canonique du §10.B.
Malheureusement ce nombre n’est pas ` a priori fini. En effet, il existe des
vari´ et´ es de Calabi-Yau o` u on a un nombre infini de courbes rationnelles de degr´ e
fix´ e. Par exemple, on consid` ere un revˆ etement double de P
3 ramifi´ e le long d’une
surface S de degr´ e 8. Il y a une famille de dimension 1 de courbes rationnelles
ayant pour image une droite trois fois tangente ` a la surface S (cela fait une
condition pour une droite d’ˆ etre tangente ` a une surface). En d´ epit de cela, Clemens
a conjectur´ e que pour une quintique g´ en´ erale il n’y a qu’un nombre fini de courbes
rationnelles d’un degr´ e donn´ e. Mais si on ne veut pas admettre cette conjecture,
il faut trouver une interpr´ etation diff´ erente pour les nombres n d . Une suggestion
est d’interpr´ eter ce nombres dans le cadre de la g´ eom´ etrie symplectique comme les
invariants de Gromov-Witten pour des courbes rationnelles de degr´ e d. Mais c’est
une autre histoire pour laquelle on consultera [Mor3], [D-S]. Ceci dit, on a :
10.6. Conjecture. Si, dans la formule (dev) du §10.A, on choisit c 1 = −5 et
c 2 = 5
−5 en ´ ecrivant
(Myst)
κ τ τ τ = n 0 +
∞
d=1
n d d
3 q
d
1 − q d
on a n 0 = 5 et pour d 1, n d est l’invariant de Gromov-Witten pour des courbes
rationnelles de degr´ e d sur une hypersurface g´ en´ erique dans P
4 de degr´ e 5. Ce
nombre co¨ ıncide avec le nombre de courbes rationnelles de degr´ e d si la conjecture
de Clemens est vraie.
Cette pr´ ediction a ´ et´ e v´ erifi´ ee pour d 3. Voir [Mor2] pour les r´ ef´ erences.