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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
convergente si |λ| < 1. Alors le r´ esultat classique est que ω 1 = πF (λ), ω 2 =
iπF (1 − λ) (|λ| < 1) et que ce sont les deux solutions ind´ ependantes de l’´ equation
diff´ erentielle de Picard-Fuchs, qui est ici l’´ equation diff´ erentielle hyperg´ eom´ etrique
s(1 − s)f
′′ (s) + (1 − 2s)f
′ (s) −
1
4
f (s) = 0 .
C’est bien l` a le d´ ebut de la connexion de Gauss-Manin !
On retourne ` a l’accouplement de Yukawa. Si s est une coordonn´ ee locale sur
le disque ∆ de centre le point singulier b i (ici s(b i ) = 0), et si ω est une section
locale de ˜
F
3 qui trivialise ce fibr´ e en droites sur ∆, on a d´ efini l’accouplement de
Yukawa (non normalis´ e) comme la fonction sur ∆
∗ :
κ sss = Q
ω,
d
3 ω
ds 3
.
La fonction κ sss d´ epend de la coordonn´ ee s, ainsi que la section locale ω de ˜
F
3 sur
∆. Le passage de ω ` a f ω (f (0) = 0), transforme κ sss en f
2 κ sss .
Pour une section ω de ˜
F
3 qui est une base locale en s = 0, la p´ eriode normalis´ ee
f 0 =
γ 0
ω est alors d´ efinie au signe pr` es. On normalise la forme en rempla¸ cant
ω par ω/f 0 , donc maintenant f 0 (0) = 1. Alors l’accouplement de Yukawa κ ttt
est normalis´ e, et donc est une fonction d´ efinie de mani` ere intrins` eque sur ∆
∗ ; on
parlera de l’accouplement de Yukawa, dans sa normalisation math´ ematique.
On ne poursuit pas les calculs d’une normalisation math´ ematique dans les
exemples, car il est plus facile de normaliser les deux constantes c 1 et c 2 introduites
dans le §10.A. On suit cette d´ emarche dans le sous-paragraphe suivant (voir
Conjecture 10.6).
10.C. Lien avec le nombre des courbes rationnelles : un exemple
Les applications ` a la g´ eom´ etrie ´ enum´ erative (“formules de pr´ ediction”) sont
bas´ ees sur le sens pr´ ecis qu’il faut attribuer ` a la correction (“corrections instantons”) du produit triple topologique κ (remarque IV du §10.A) et donc en relation
avec la d´ efinition de “l’action”, qui conduit ` a la d´ efinition des mod` eles sigma bas´ es
sur une vari´ et´ e de Calabi-Yau [F-G], [P]. Plus pr´ ecisemment, l’int´ egrale Z
∗ du
§7.A admet un d´ eveloppement en contribution sur les morphismes de P
1 dans la
vari´ et´ e de Calabi-Yau. Voir en particulier [P,§5.6] pour un ´ enonc´ e explicite.
Dans la suite nous ne ferons qu’observer la coh´ erence de ces d´ eveloppements
sur quelques exemples, particuli` erement celui de [C-O-G-P].
Soit T l’ouvert de P(Sym
5 C
5 )) param´ etrant les hypersurfaces lisses de degr´ e 5
dans P
4 et Y t , t ∈ T la famille tautologique correspondante. Cette famille est une
famille de vari´ et´ es de Calabi-Yau avec dim H
1 (T Y t ) = dim T − dim PGL(5) = 101
et h
1,1 (Y t ) = 1. La sym´ etrie miroir pr´ edit l’existence d’une famille X s , s ∈ S avec
dim S = dim H
1 (T X s ) = 1 et h
1,1 (X s ) = 101. Le candidat propos´ e pour X s est
une r´ esolution convenable des singularit´ es du quotient de la famille
f (s) = Z
5
0 + Z
5
1 + Z
5
2 + Z
5
3 + Z
5
4 − 5tZ 0 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 , s = t
−5
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
convergente si |λ| < 1. Alors le r´ esultat classique est que ω 1 = πF (λ), ω 2 =
iπF (1 − λ) (|λ| < 1) et que ce sont les deux solutions ind´ ependantes de l’´ equation
diff´ erentielle de Picard-Fuchs, qui est ici l’´ equation diff´ erentielle hyperg´ eom´ etrique
s(1 − s)f
′′ (s) + (1 − 2s)f
′ (s) −
1
4
f (s) = 0 .
C’est bien l` a le d´ ebut de la connexion de Gauss-Manin !
On retourne ` a l’accouplement de Yukawa. Si s est une coordonn´ ee locale sur
le disque ∆ de centre le point singulier b i (ici s(b i ) = 0), et si ω est une section
locale de ˜
F
3 qui trivialise ce fibr´ e en droites sur ∆, on a d´ efini l’accouplement de
Yukawa (non normalis´ e) comme la fonction sur ∆
∗ :
κ sss = Q
ω,
d
3 ω
ds 3
.
La fonction κ sss d´ epend de la coordonn´ ee s, ainsi que la section locale ω de ˜
F
3 sur
∆. Le passage de ω ` a f ω (f (0) = 0), transforme κ sss en f
2 κ sss .
Pour une section ω de ˜
F
3 qui est une base locale en s = 0, la p´ eriode normalis´ ee
f 0 =
γ 0
ω est alors d´ efinie au signe pr` es. On normalise la forme en rempla¸ cant
ω par ω/f 0 , donc maintenant f 0 (0) = 1. Alors l’accouplement de Yukawa κ ttt
est normalis´ e, et donc est une fonction d´ efinie de mani` ere intrins` eque sur ∆
∗ ; on
parlera de l’accouplement de Yukawa, dans sa normalisation math´ ematique.
On ne poursuit pas les calculs d’une normalisation math´ ematique dans les
exemples, car il est plus facile de normaliser les deux constantes c 1 et c 2 introduites
dans le §10.A. On suit cette d´ emarche dans le sous-paragraphe suivant (voir
Conjecture 10.6).
10.C. Lien avec le nombre des courbes rationnelles : un exemple
Les applications ` a la g´ eom´ etrie ´ enum´ erative (“formules de pr´ ediction”) sont
bas´ ees sur le sens pr´ ecis qu’il faut attribuer ` a la correction (“corrections instantons”) du produit triple topologique κ (remarque IV du §10.A) et donc en relation
avec la d´ efinition de “l’action”, qui conduit ` a la d´ efinition des mod` eles sigma bas´ es
sur une vari´ et´ e de Calabi-Yau [F-G], [P]. Plus pr´ ecisemment, l’int´ egrale Z
∗ du
§7.A admet un d´ eveloppement en contribution sur les morphismes de P
1 dans la
vari´ et´ e de Calabi-Yau. Voir en particulier [P,§5.6] pour un ´ enonc´ e explicite.
Dans la suite nous ne ferons qu’observer la coh´ erence de ces d´ eveloppements
sur quelques exemples, particuli` erement celui de [C-O-G-P].
Soit T l’ouvert de P(Sym
5 C
5 )) param´ etrant les hypersurfaces lisses de degr´ e 5
dans P
4 et Y t , t ∈ T la famille tautologique correspondante. Cette famille est une
famille de vari´ et´ es de Calabi-Yau avec dim H
1 (T Y t ) = dim T − dim PGL(5) = 101
et h
1,1 (Y t ) = 1. La sym´ etrie miroir pr´ edit l’existence d’une famille X s , s ∈ S avec
dim S = dim H
1 (T X s ) = 1 et h
1,1 (X s ) = 101. Le candidat propos´ e pour X s est
une r´ esolution convenable des singularit´ es du quotient de la famille
f (s) = Z
5
0 + Z
5
1 + Z
5
2 + Z
5
3 + Z
5
4 − 5tZ 0 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 , s = t
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