10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir
245
D’o` u
τ
′ = τ +
b
cλ
et q
′ = exp
2πi
b
cλ
q .
On voit le lien avec la discussion dans le §10.A : la constante c 2 s’identifie avec
exp(2πi
b
cλ
).
Ces remarques ´ etant faites, il faut certainement utiliser la structure enti` ere
pour normaliser les p´ eriodes et ainsi obtenir une coordonn´ ee “canonique” sur
le disque. Notons L le r´ eseau entier (L = (H Z ) s 0 ) dans H et rappelons que
T ∈ Aut Z (L, Q). Alors L ∩ W 0 est de rang 1, on va donc prendre pour α un
g´ en´ erateur de ce groupe. On a T = exp(N ) = 1 + N sur W 2 = ker(N
2 ), donc
N = T − 1 est entier sur W 2 ∩ L, c’est-` a-dire N (W 2 ∩ L) ⊆ L ∩ W 0 . On peut alors
choisir une base du groupe (de rang 2) W 2 ∩ L, de la forme {α, β}, et N (β) ∈ N α,
soit N (β) = mα avec m 1. Une autre base de ce type est α
′ = ±α, β
′ = ±β + ℓα
(ℓ ∈ Z).
En conclusion, le param` etre q obtenu par cette normalisation est d´ efini ` a une
racine m-i` eme de l’unit´ e pr` es, et si m = 1 (la monodromie est “petite” : dixit
Morrison), q est alors d´ etermin´ e de mani` ere unique. On dit dans ces conditions
que q est le param` etre canonique autour de la singularit´ e (voir [Mor1]). En r´ esum´ e,
nous avons d´ emontr´ e :
10.5. Proposition (Normalisation math´ ematique). Soit f : X → ∆ une d´ eg´ en´ erescence ` a un param` etre de vari´ et´ es de Calabi-Yau de dimension 3 avec h
2,1 = 1.
On suppose que ω est une section partout non-nulle sur ∆
∗ de F
3 . On suppose
aussi que la monodromie locale du syst` eme local de cohomologie en dimension
3 est unipotente de rang 4. On pose N = log T . Fixons s o ∈ ∆, un g´ en´ erateur
α de H
3 (X s o , Z) ∩ Ker N et une base {α, β} de H
3 (X s o , Z) ∩ Ker N
2 telle que
N β = mα, m ∈ Z >0 . Soient γ 0 , γ 1 ∈ H 3 (X s o , Z) les classes duales. Alors la fonction
q(s) = exp
2πi
m
γ 1
ω(s)
γ 0
ω(s)
est bien d´ efinie ` a une racine m-i` eme de l’unit´ e pr` es.
10.6. Exemple. [Hu] La situation est analogue ` a celle des courbes de genre 1.
Soit la famille de courbes de genre 1 : y
2 = x(x − 1)(x − λ), λ = 0, 1 (forme de
Legendre) ; ω =
dx
2y d´ efinit une section de F
1 (fibr´ e de Hodge).
Les p´ eriodes (au nombre de deux) sont donn´ ees, relativement ` a une base de
H 1 (X λ , Z), par
ω 1 =
∞
1
dx
x(x − 1)(x − λ)
et ω 2 =
0
−∞
dx
x(x − 1)(x − λ)
.
On exprime ω 1 et ω 2 en fonction de λ, au moyen de la s´ erie hyperg´ eom´ etrique
F (λ) = 2 F 1
1
2
,
1
2
, 1; λ
=
∞
n=0
−1/2
n
2
λ
n
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D’o` u
τ
′ = τ +
b
cλ
et q
′ = exp
2πi
b
cλ
q .
On voit le lien avec la discussion dans le §10.A : la constante c 2 s’identifie avec
exp(2πi
b
cλ
).
Ces remarques ´ etant faites, il faut certainement utiliser la structure enti` ere
pour normaliser les p´ eriodes et ainsi obtenir une coordonn´ ee “canonique” sur
le disque. Notons L le r´ eseau entier (L = (H Z ) s 0 ) dans H et rappelons que
T ∈ Aut Z (L, Q). Alors L ∩ W 0 est de rang 1, on va donc prendre pour α un
g´ en´ erateur de ce groupe. On a T = exp(N ) = 1 + N sur W 2 = ker(N
2 ), donc
N = T − 1 est entier sur W 2 ∩ L, c’est-` a-dire N (W 2 ∩ L) ⊆ L ∩ W 0 . On peut alors
choisir une base du groupe (de rang 2) W 2 ∩ L, de la forme {α, β}, et N (β) ∈ N α,
soit N (β) = mα avec m 1. Une autre base de ce type est α
′ = ±α, β
′ = ±β + ℓα
(ℓ ∈ Z).
En conclusion, le param` etre q obtenu par cette normalisation est d´ efini ` a une
racine m-i` eme de l’unit´ e pr` es, et si m = 1 (la monodromie est “petite” : dixit
Morrison), q est alors d´ etermin´ e de mani` ere unique. On dit dans ces conditions
que q est le param` etre canonique autour de la singularit´ e (voir [Mor1]). En r´ esum´ e,
nous avons d´ emontr´ e :
10.5. Proposition (Normalisation math´ ematique). Soit f : X → ∆ une d´ eg´ en´ erescence ` a un param` etre de vari´ et´ es de Calabi-Yau de dimension 3 avec h
2,1 = 1.
On suppose que ω est une section partout non-nulle sur ∆
∗ de F
3 . On suppose
aussi que la monodromie locale du syst` eme local de cohomologie en dimension
3 est unipotente de rang 4. On pose N = log T . Fixons s o ∈ ∆, un g´ en´ erateur
α de H
3 (X s o , Z) ∩ Ker N et une base {α, β} de H
3 (X s o , Z) ∩ Ker N
2 telle que
N β = mα, m ∈ Z >0 . Soient γ 0 , γ 1 ∈ H 3 (X s o , Z) les classes duales. Alors la fonction
q(s) = exp
2πi
m
γ 1
ω(s)
γ 0
ω(s)
est bien d´ efinie ` a une racine m-i` eme de l’unit´ e pr` es.
10.6. Exemple. [Hu] La situation est analogue ` a celle des courbes de genre 1.
Soit la famille de courbes de genre 1 : y
2 = x(x − 1)(x − λ), λ = 0, 1 (forme de
Legendre) ; ω =
dx
2y d´ efinit une section de F
1 (fibr´ e de Hodge).
Les p´ eriodes (au nombre de deux) sont donn´ ees, relativement ` a une base de
H 1 (X λ , Z), par
ω 1 =
∞
1
dx
x(x − 1)(x − λ)
et ω 2 =
0
−∞
dx
x(x − 1)(x − λ)
.
On exprime ω 1 et ω 2 en fonction de λ, au moyen de la s´ erie hyperg´ eom´ etrique
F (λ) = 2 F 1
1
2
,
1
2
, 1; λ
=
∞
n=0
−1/2
n
2
λ
n