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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
section “horizontale” qui s’´ etend en s = 0 est α
∗ (s) = exp
log s
2πi N [α(s)]
. En
particulier, si α ∈ W 0 , T (α) = α, on a α
∗ (s) = α(s) ; d’o` u, par le fait que Q est plate
dans le fibr´ e trivialis´ e ˜
H
3 , ce qui signifie que Q(α
∗ (s), β
∗ (s)) = Q(α, β) = const,
il est clair que Q(α(s), β(s)) est une fonction holomorphe sur ∆. Si α est la classe
de cohomologie duale du cycle γ 0 , cette fonction repr´ esente la p´ eriode :
f 0 (s) :=
γ 0
ω(s).
Montrons que f 0 (0) = 0 ; dans le cas contraire, on a Q(α(0), ω(0)) = 0 dans la
fibre de ˜
H
3 en s = 0. Mais ω(0) ∈ ˜
F
3 (0), et α(0) ∈ W 0 . Or la filtration par le poids
est auto-duale relativement ` a Q (du fait que N ∈ g Q ), c’est-` a-dire W
⊥
ℓ = W 6−ℓ−2 .
Donc ω(0) ∈ ˜
F
3 (0) ∩ W
4 = 0. Ceci montre bien que f 0 (0) = 0.
Discutons maintenant le choix d’une coordonn´ ee intrins` eque sur ∆
∗ . Soit
β ∈ W 2 = ker(N
2 ), lin´ eairement ind´ ependant avec α. Il y a un scalaire λ tel
que N (β) = λα. Soit β
∗ (s) l’extension canonique (horizontale) de β ` a ˜
H
3 . On a
β
∗ (s) = exp
−
log s
2πi
N
β(s)
= β(s) −
log s
2πi
λα
∗ (s) .
Donc
f 1 (s) =
γ 1
ω(s)
(si β est la classe duale de γ 1 )
=
log s
2πi
λf 0 (s) + Q(β
∗ (s), ω(s))
et Q(β
∗ (s), ω(s)) est holomorphe sur ∆. Donc :
τ =
λ
−1
γ 1
ω
γ 0
ω
est un param` etre sur h et
q = exp(2πiτ )
un param` etre sur ∆.
Noter que τ ´ etant le quotient de deux p´ eriodes ne d´ epend pas de la section ω.
Si {α
′ , β
′ } est un autre choix, qui conduit aux p´ eriodes {ω
′
0 , ω
′
1 } et aux param` etres
t
′ , q
′ , on a a, b, c ∈ C, ac = 0, avec :
α
′ = aα, β
′ = bα + cβ
donc
N β
′ = λ
′ α
′
avec λ
′ =
cλ
a
.