10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir
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et qui dans la dualit´ e entre X et X
∗ , serait le pendant de la variation d´ ecrite
dans les pages pr´ ec´ edentes pour X
∗ . Pour une formulation plus pr´ ecise, le lecteur
consultera [Mor4], [P]. Nous voulons ne retenir de cette discussion que le fait que
les aspects de th´ eorie de Hodge sont certainement ` a la base d’une formulation
rigoureuse du principe de sym´ etrie. Voir aussi le §11 pour une discussion allant
dans ce sens.
10.B. Normalisation math´ ematique
Il s’agit d’avoir des informations sur le comportement asymptotique des
p´ eriodes, et de l’accouplement de Yukawa. Cela rel` eve de l’´ etude g´ en´ erale du
comportement asymptotique d’une variation de structures de Hodge (singularit´ es
de l’application des p´ eriodes).
Soit donn´ ee une famille de vari´ et´ es de Calabi-Yau, on suppose pour simplifier
que h
2,1 = 1 et dim S = 1 (on a vu que X → S est universelle en tout point
s ∈ S (Th´ eor` eme 7.2). Supposons S = S {b 1 , . . . , b r } o` u S est une courbe
compl` ete non singuli` ere, les points {b i } ´ etant les points singuliers de la famille
(voir l’exemple de la famille quintique et de la famille miroir dans le §7.A). Il
s’agit d’analyser le comportement de la structure de Hodge (variation) port´ ee par
H
3 (X/S) = R
3 f ∗ (ω
•
X/S ) lorsque le param` etre s approche un point singulier. En un
tel point b i , on a vu que H
3 (X/S) admet une extension privil´ egi´ ee (sur un disque
param´ etr´ e de centre b i ), et que les fibr´ es de Hodge F
p (p = 0, 1, 2, 3) se prolongent
en des sous-fibr´ es ˜
F
p de l’extension privil´ egi´ ee ˜
H
3 (X/S). On fait une hypoth` ese
maintenant [Mor1], hypoth` ese qui est v´ erifi´ ee dans l’exemple qui nous int´ eresse.
10.4. Hypoth` ese. (Voir le Th´ eor` eme 4.1) L’op´ erateur T (de monodromie locale)
en b i est maximalement unipotent. C’est-` a-dire (T − 1)
3 = 0 et donc N = log T a
un seul bloc de Jordan
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
.
On v´ erifie imm´ ediatement que sous cette hypoth` ese, la filtration W • est de la
forme :
W 0 = W 1 = ker(N ),
W 2 = W 3 = ker(N
2 ),
W 4 = W 5 = ker(N
3 ).
La structure de Hodge sur Gr
W
2ℓ (ℓ = 0, 1, 2, 3) se r´ eduit ` a Gr
W
2ℓ = I
ℓ,ℓ . En
particulier I
a,b = 0 si a = b et
W ℓ =
a+bℓ
I
a,b ,
F ∞ =
ap
I
a,b .
Rappelons que le fibr´ e H
3 (X/S) est prolong´ e ` a ∆ et donc est trivialisable sur
∆
∗ . Si α est une section de ce fibr´ e en s 0 ∈ ∆
∗ , et si α(s) est le prolongement
(multiforme) de α par transport parall` ele par la connexion de Gauss-Manin, la
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et qui dans la dualit´ e entre X et X
∗ , serait le pendant de la variation d´ ecrite
dans les pages pr´ ec´ edentes pour X
∗ . Pour une formulation plus pr´ ecise, le lecteur
consultera [Mor4], [P]. Nous voulons ne retenir de cette discussion que le fait que
les aspects de th´ eorie de Hodge sont certainement ` a la base d’une formulation
rigoureuse du principe de sym´ etrie. Voir aussi le §11 pour une discussion allant
dans ce sens.
10.B. Normalisation math´ ematique
Il s’agit d’avoir des informations sur le comportement asymptotique des
p´ eriodes, et de l’accouplement de Yukawa. Cela rel` eve de l’´ etude g´ en´ erale du
comportement asymptotique d’une variation de structures de Hodge (singularit´ es
de l’application des p´ eriodes).
Soit donn´ ee une famille de vari´ et´ es de Calabi-Yau, on suppose pour simplifier
que h
2,1 = 1 et dim S = 1 (on a vu que X → S est universelle en tout point
s ∈ S (Th´ eor` eme 7.2). Supposons S = S {b 1 , . . . , b r } o` u S est une courbe
compl` ete non singuli` ere, les points {b i } ´ etant les points singuliers de la famille
(voir l’exemple de la famille quintique et de la famille miroir dans le §7.A). Il
s’agit d’analyser le comportement de la structure de Hodge (variation) port´ ee par
H
3 (X/S) = R
3 f ∗ (ω
•
X/S ) lorsque le param` etre s approche un point singulier. En un
tel point b i , on a vu que H
3 (X/S) admet une extension privil´ egi´ ee (sur un disque
param´ etr´ e de centre b i ), et que les fibr´ es de Hodge F
p (p = 0, 1, 2, 3) se prolongent
en des sous-fibr´ es ˜
F
p de l’extension privil´ egi´ ee ˜
H
3 (X/S). On fait une hypoth` ese
maintenant [Mor1], hypoth` ese qui est v´ erifi´ ee dans l’exemple qui nous int´ eresse.
10.4. Hypoth` ese. (Voir le Th´ eor` eme 4.1) L’op´ erateur T (de monodromie locale)
en b i est maximalement unipotent. C’est-` a-dire (T − 1)
3 = 0 et donc N = log T a
un seul bloc de Jordan
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
.
On v´ erifie imm´ ediatement que sous cette hypoth` ese, la filtration W • est de la
forme :
W 0 = W 1 = ker(N ),
W 2 = W 3 = ker(N
2 ),
W 4 = W 5 = ker(N
3 ).
La structure de Hodge sur Gr
W
2ℓ (ℓ = 0, 1, 2, 3) se r´ eduit ` a Gr
W
2ℓ = I
ℓ,ℓ . En
particulier I
a,b = 0 si a = b et
W ℓ =
a+bℓ
I
a,b ,
F ∞ =
ap
I
a,b .
Rappelons que le fibr´ e H
3 (X/S) est prolong´ e ` a ∆ et donc est trivialisable sur
∆
∗ . Si α est une section de ce fibr´ e en s 0 ∈ ∆
∗ , et si α(s) est le prolongement
(multiforme) de α par transport parall` ele par la connexion de Gauss-Manin, la