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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
La formule de dessus montre que le potentiel κ est tr` es particulier, manifestation
du caract` ere “sp´ ecial” de cette m´ etrique (voir Remarque IV).
D’une autre mani` ere, si on identifie T s S et H
2,1 (X s ) vu que Ω
3
X s
∼ = O X s , la
m´ etrique de Weil-Peterson n’est pas autre chose que :
ψ, φ WP =
X s
ψ ∧ ∗ ¯
φ.
Il y a une relation pr´ ecise avec l’application des p´ eriodes q introduite ci-dessus.
Du fait des relations de Riemann R1 et R2 du §3.A, la droite H
3,0 (X) appartient
` a un ouvert dans une quadrique complexe Q ⊂ P
2b+1 . La forme de Hodge induit
clairement sur la restriction ` a Q du fibr´ e tautologique de P
2b+1 une m´ etrique
hermitienne. Si ω est la forme de Chern de cette m´ etrique, on peut prouver [T]
que la forme de K¨ ahler ω WP de la m´ etrique de Weil-Peterson co¨ ıncide avec l’image
r´ eciproque de ω.
IV. Les consid´ erations g´ eom´ etriques pr´ ec´ edentes ont pour support l’espace des
param` etres des structures complexes, soit infinit´ esimalement l’espace H
2,1 . Il n’est
pas ` a priori ´ evident que des constructions similaires existent avec l’espace des
param` etres pour les classes de K¨ ahler. D´ efinissons cet espace. Si J ∈ H
1,1 (X, R)
est la forme de K¨ ahler d’une m´ etrique de K¨ ahler sur X, alors J est positive et, en
particulier, pour toute courbe alg´ ebrique C ⊂ X,
[C]
J > 0.
Ces in´ egalit´ es d´ efinissent dans l’espace vectoriel r´ eel H
1,1 (X, R) = H
2 (X, R) un
cˆ one ouvert K(X), appel´ e le cˆ one de K¨ ahler. Le complexifi´ e du cˆ one de K¨ ahler est
CK(X) = {B + iJ | B, J ∈ K(X)}.
Il est important aussi de consid´ erer les in´ egalit´ es larges, c’est-` a-dire le cˆ one ferm´ e
K(X).
Il n’y a pas ici de variation de structures de Hodge support´ ee par le cˆ one
de K¨ ahler complexifi´ e, et donc pas de contrepartie ´ evidente ` a l’accouplement de
Yukawa, mais seulement le produit triple topologique donn´ e par l’intersection des
(1, 1)-formes κ(ρ, σ, τ ) =
ρ∧σ∧τ . Il est d´ ej` a remarquable que dans cette situation
duale, la “g´ eom´ etrie” de l’espace des modules des structures complexes subsiste
formellement [C-O], renfor¸ cant l’hypoth` ese de sym´ etrie entre les deux types de
d´ eformations. Les propri´ et´ es diff´ erentielles-g´ eom´ etriques d´ ecrites ci-dessus ont ´ et´ e
formalis´ ees sous le titre de “g´ eom´ etrie sp´ eciale” [Str]. Nous renvoyons ` a cet article
pour une d´ efinition pr´ ecise. L’´ etude de cette “g´ eom´ etrie” sur le complexifi´ e du cˆ one
de K¨ ahler est le fondement de la sym´ etrie miroir. Une d´ efinition math´ ematique
pr´ ecise peut ˆ etre consid´ er´ ee comme ´ equivalente ` a l’existence d’une variation de
structures de Hodge de base le complexifi´ e du cˆ one de K¨ ahler, conduisant ` a un
accouplement triple qui “corrige” en un certain sens l’accouplement κ ci-dessus,
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
La formule de dessus montre que le potentiel κ est tr` es particulier, manifestation
du caract` ere “sp´ ecial” de cette m´ etrique (voir Remarque IV).
D’une autre mani` ere, si on identifie T s S et H
2,1 (X s ) vu que Ω
3
X s
∼ = O X s , la
m´ etrique de Weil-Peterson n’est pas autre chose que :
ψ, φ WP =
X s
ψ ∧ ∗ ¯
φ.
Il y a une relation pr´ ecise avec l’application des p´ eriodes q introduite ci-dessus.
Du fait des relations de Riemann R1 et R2 du §3.A, la droite H
3,0 (X) appartient
` a un ouvert dans une quadrique complexe Q ⊂ P
2b+1 . La forme de Hodge induit
clairement sur la restriction ` a Q du fibr´ e tautologique de P
2b+1 une m´ etrique
hermitienne. Si ω est la forme de Chern de cette m´ etrique, on peut prouver [T]
que la forme de K¨ ahler ω WP de la m´ etrique de Weil-Peterson co¨ ıncide avec l’image
r´ eciproque de ω.
IV. Les consid´ erations g´ eom´ etriques pr´ ec´ edentes ont pour support l’espace des
param` etres des structures complexes, soit infinit´ esimalement l’espace H
2,1 . Il n’est
pas ` a priori ´ evident que des constructions similaires existent avec l’espace des
param` etres pour les classes de K¨ ahler. D´ efinissons cet espace. Si J ∈ H
1,1 (X, R)
est la forme de K¨ ahler d’une m´ etrique de K¨ ahler sur X, alors J est positive et, en
particulier, pour toute courbe alg´ ebrique C ⊂ X,
[C]
J > 0.
Ces in´ egalit´ es d´ efinissent dans l’espace vectoriel r´ eel H
1,1 (X, R) = H
2 (X, R) un
cˆ one ouvert K(X), appel´ e le cˆ one de K¨ ahler. Le complexifi´ e du cˆ one de K¨ ahler est
CK(X) = {B + iJ | B, J ∈ K(X)}.
Il est important aussi de consid´ erer les in´ egalit´ es larges, c’est-` a-dire le cˆ one ferm´ e
K(X).
Il n’y a pas ici de variation de structures de Hodge support´ ee par le cˆ one
de K¨ ahler complexifi´ e, et donc pas de contrepartie ´ evidente ` a l’accouplement de
Yukawa, mais seulement le produit triple topologique donn´ e par l’intersection des
(1, 1)-formes κ(ρ, σ, τ ) =
ρ∧σ∧τ . Il est d´ ej` a remarquable que dans cette situation
duale, la “g´ eom´ etrie” de l’espace des modules des structures complexes subsiste
formellement [C-O], renfor¸ cant l’hypoth` ese de sym´ etrie entre les deux types de
d´ eformations. Les propri´ et´ es diff´ erentielles-g´ eom´ etriques d´ ecrites ci-dessus ont ´ et´ e
formalis´ ees sous le titre de “g´ eom´ etrie sp´ eciale” [Str]. Nous renvoyons ` a cet article
pour une d´ efinition pr´ ecise. L’´ etude de cette “g´ eom´ etrie” sur le complexifi´ e du cˆ one
de K¨ ahler est le fondement de la sym´ etrie miroir. Une d´ efinition math´ ematique
pr´ ecise peut ˆ etre consid´ er´ ee comme ´ equivalente ` a l’existence d’une variation de
structures de Hodge de base le complexifi´ e du cˆ one de K¨ ahler, conduisant ` a un
accouplement triple qui “corrige” en un certain sens l’accouplement κ ci-dessus,