10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir
241
est la d´ eformation universelle de X 0 = f
−1 (0), de sorte que l’application de
Kodaira-Spencer est un isomorphisme pour tout s ∈ S, et dim(S) = h
2,1 = b.
En vertu du th´ eor` eme de Bogomolov et Tian (voir le §7.C), S est lisse. On
suppose que S soit isomorphe ` a un disque de dimension b. On trivialise le syst` eme
local {H 3 (X s , Z)}, au moyen d’une base symplectique {γ i , δ j } i,j=0, ... ,b . Soit ω une
section locale de F
3 = f ∗ (ω
3
X/S ) qui trivialise ce fibr´ e. Le th´ eor` eme de Bryant et
Griffiths dit que les γ-p´ eriodes ζ i (s) =
γ i
ω(s) peuvent servir comme coordonn´ ees
homog` enes sur S (voir le §7).
Lemme. Avec ξ j (s) =
δ j
ω(s) on a les relations :
ξ i =
j
ζ j
∂ξ i
∂ζ j
et {ξ i } est le gradient d’une fonction holomorphe homog` ene G de degr´ e 2 des
variables ζ 0 , . . . , ζ b .
Preuve. On a comme ci-dessus les relations
X
ω ∧
∂ω
∂ζ i
=
X s
ω ∧
∂
2 ω
∂ζ i ∂ζ j
= 0 .
Si on remplace ω par le d´ eveloppement ω =
ζ i α i +
ξ j β j (voir le §7.C pour
les notations) et si on tient compte du fait que {α i } et {β j } sont des sections
constantes, on a les relations annonc´ ees. Ces relations entraˆ ınent
2ξ i =
∂
∂ζ i
k
ζ k ξ k
d’o` u si G(ζ) =
1
2
k
ζ k ξ k
, on a ξ i =
∂G
∂ζ i
.
II. Un calcul ´ el´ ementaire conduit ` a l’expression suivante pour l’accouplement de
Yukawa :
κ ijk =
X s
ω ∧
∂
3 ω
∂ζ i ∂ζ j ∂ζ k
=
∂
3 G
∂ζ i ∂ζ j ∂ζ k
.
III. On peut d´ efinir sur l’espace local des modules S, une m´ etrique de K¨ ahler (en
fait de Hodge ([Dem]), par son potentiel local. Les relations de Riemann montrent
que
i
ω ∧ ω = i
a
ζ a
∂G
∂ζ a
− ζ a
∂G
∂ζ a
> 0.
Posons κ = − log
i
ω ∧ ω
. Alors la m´ etrique dite de Weil-Peterson, ([T]) sur S
est d´ efinie localement par :
g ij =
∂
2 κ
∂ζ i ∂ζ j
.