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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
comme un param` etre uniforme sur le demi-plan de Poincar´ e h. Quand s tourne
autour de 0 le param` etre τ se transforme en τ + 1. Celui-ci est uniquement
d´ etermin´ e par cette propri´ et´ e ` a une constante additive pr` es ; cela provient du fait
qu’on pourra remplacer f 1 par f 1 +
1
2πi
· log c 2 · f 0 , le point s = 0 n’ayant aucune
signification intrins` eque sur h. Donc le param` etre
q = exp
2πi
f 1 (s)
f 0 (s)
= s exp
g
f 0
sur le disque ´ epoint´ e est bien-d´ efini ` a la constante multiplicative c 2 ∈ C
∗ pr` es.
Ensuite on souhaite normaliser κ τ τ τ . D’abord, il faut noter que κ d´ epend du
choix de la 3-forme relative ω. Si ω se transforme en k(s)ω, κ sss est transform´ e
en k(s)
2 κ sss . On remarque que la solution f 0 est de la forme f 0 =
γ
ω pour un
3-cycle γ, invariant par la monodromie locale. Un tel cycle γ est unique ` a une
constante multiplicative pr` es. Donc, la 3-forme ˜
ω = f 0 (s)
−1 ω = ω/
γ
ω est une
3-forme holomorphe ˜
ω(s) telle qu’il existe un cycle invariant γ dans H 3 (X s , C)
avec
γ
˜
ω = 1. Ainsi ˜
ω est unique ` a une constante multiplicative pr` es. Conclusion :
avec cette normalisation on a
κ = c 1
exp
−
1
2
B 3 (s)ds
f 0 (s) 2
1
2πi
ds
s
⊗3
, c 1 ∈ C
∗ .
Ensuite on note que κ τ τ τ (dτ )
3 = κ sss
1
2πi
·
dq
q
3
est p´ eriodique en τ et donc il
existe un d´ eveloppement en
q := e
2πiτ (s) .
On ´ ecrit alors :
(dev)
κ = c 1 ·
∞
j=0
κ j
q
c 2
j
·
dq
2πiq
⊗3
On peut voir (cf. [Mor2]) facilement que les coefficients κ j sont des nombres
rationnels si les coefficients B j de l’´ equation de Picard-Fuchs admettent une
d´ eveloppement en s´ erie enti` ere ` a coefficients rationnels.
Rappelons que ce calcul est fait sous l’hypoth` ese cruciale que f 0 (0) =
γ
ω(0) =
0. On la v´ erifiera dans le sous-paragraphe suivant.
Exemple. On reprend l’exemple 10.1. Ici f 0 (0) = 1 (voir l’Exemple 9.7) et on
observe que l’hypoth` ese sur les B j (s) est bien v´ erifi´ ee. On trouve ici que
κ sss =
c 1
(s − 1)f 0 (s) 2 .
10.3. Remarques. I. En liaison avec les calculs pr´ ec´ edents, rappelons le th´ eor` eme
de Bryant et Griffiths (Th´ eor` eme 7.3). On fait l’hypoth` ese que la famille f : X → S
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
comme un param` etre uniforme sur le demi-plan de Poincar´ e h. Quand s tourne
autour de 0 le param` etre τ se transforme en τ + 1. Celui-ci est uniquement
d´ etermin´ e par cette propri´ et´ e ` a une constante additive pr` es ; cela provient du fait
qu’on pourra remplacer f 1 par f 1 +
1
2πi
· log c 2 · f 0 , le point s = 0 n’ayant aucune
signification intrins` eque sur h. Donc le param` etre
q = exp
2πi
f 1 (s)
f 0 (s)
= s exp
g
f 0
sur le disque ´ epoint´ e est bien-d´ efini ` a la constante multiplicative c 2 ∈ C
∗ pr` es.
Ensuite on souhaite normaliser κ τ τ τ . D’abord, il faut noter que κ d´ epend du
choix de la 3-forme relative ω. Si ω se transforme en k(s)ω, κ sss est transform´ e
en k(s)
2 κ sss . On remarque que la solution f 0 est de la forme f 0 =
γ
ω pour un
3-cycle γ, invariant par la monodromie locale. Un tel cycle γ est unique ` a une
constante multiplicative pr` es. Donc, la 3-forme ˜
ω = f 0 (s)
−1 ω = ω/
γ
ω est une
3-forme holomorphe ˜
ω(s) telle qu’il existe un cycle invariant γ dans H 3 (X s , C)
avec
γ
˜
ω = 1. Ainsi ˜
ω est unique ` a une constante multiplicative pr` es. Conclusion :
avec cette normalisation on a
κ = c 1
exp
−
1
2
B 3 (s)ds
f 0 (s) 2
1
2πi
ds
s
⊗3
, c 1 ∈ C
∗ .
Ensuite on note que κ τ τ τ (dτ )
3 = κ sss
1
2πi
·
dq
q
3
est p´ eriodique en τ et donc il
existe un d´ eveloppement en
q := e
2πiτ (s) .
On ´ ecrit alors :
(dev)
κ = c 1 ·
∞
j=0
κ j
q
c 2
j
·
dq
2πiq
⊗3
On peut voir (cf. [Mor2]) facilement que les coefficients κ j sont des nombres
rationnels si les coefficients B j de l’´ equation de Picard-Fuchs admettent une
d´ eveloppement en s´ erie enti` ere ` a coefficients rationnels.
Rappelons que ce calcul est fait sous l’hypoth` ese cruciale que f 0 (0) =
γ
ω(0) =
0. On la v´ erifiera dans le sous-paragraphe suivant.
Exemple. On reprend l’exemple 10.1. Ici f 0 (0) = 1 (voir l’Exemple 9.7) et on
observe que l’hypoth` ese sur les B j (s) est bien v´ erifi´ ee. On trouve ici que
κ sss =
c 1
(s − 1)f 0 (s) 2 .
10.3. Remarques. I. En liaison avec les calculs pr´ ec´ edents, rappelons le th´ eor` eme
de Bryant et Griffiths (Th´ eor` eme 7.3). On fait l’hypoth` ese que la famille f : X → S