10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir
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Remarquons que sous l’hypoth` ese retenue, l’´ equation diff´ erentielle ∇α = 0, est
le syst` eme lin´ eaire ´ equivalent ` a l’´ equation du 4e ordre (PF). Ceci explique que les
informations locales sur la monodromie, sur κ ttt , se d´ eduisent du calcul explicite
de l’´ equation de Picard-Fuchs.
Finalement quelque mots sur le cas d’une ´ equation de Picard-Fuchs ` a points
singuliers r´ eguliers. On suppose que s est une coordonn´ ee locale autour d’un tel
point et on ´ ecrit
κ = κ sss
ds
s
⊗3
et, comme d’habitude,
Θ = s
d
ds
.
Maintenant, pour trouver κ sss il faut r´ esoudre l’´ equation
dκ
ds
= −
1
2
B 3 κ
O` u B 3 est le coefficient de Θ dans l’´ equation de Picard-Fuchs [Θ
4 +B 3 Θ
3 +B 2 Θ
2 +
· · ·]ϕ = 0.
10.1. Exemple. Dans l’exemple 9.7 de la section pr´ ec´ edente en utilisant la
coordonn´ ee s on trouve
κ sss = C 1
1
s 3 (s − 1)
,
C 1 = constante d’int´ egration.
Discutons les possibles normalisations de l’accouplement de Yukawa dans le
cas d’un param` etre s. On applique d’abord le r´ esultat classique (voir [Ince])
10.2. Th´ eor` eme. Soit donn´ ee une ´ equation diff´ erentielle d’ordre 2 sur un
disque autour de 0 ayant une singularit´ e r´ eguli` ere en 0. On suppose que la
monodromie T locale autour de 0 admet un seul bloc de Jordan pour la valeur
propre 1 avec multiplicit´ e 2. Alors, il existe une solution f 0 r´ eguli` ere et uniforme
autour de 0. De plus, il existe une solution locale f 1 autour de 0, ind´ ependante de
f 0 telle que g(s) = 2πif 1 (s) − log(s) · f 0 (s) soit uniforme. La solution f 0 est unique
` a une constante multiplicative pr` es, la solution f 1 est unique ` a un multiple de f 0
pr` es.
Si donc f 0 = 0 on pourra fixer le f 0 par f 0 (0) = 1 et ensuite le f 1 par
g(0) = 0. On peut toujours remplacer s par une autre coordonn´ ee w(s) ; de
κ sss (ds/s)
⊗3 = κ www (dw/w)
⊗3 on tire que κ est remplac´ e par (ds/dw)
3 . On
cherche ` a trouver une coordonn´ ee q “normalis´ ee” sur le disque. Dans un premier
temps, on regarde la fonction multiforme
τ (s) = f 1 (s)/f 0 (s)
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Remarquons que sous l’hypoth` ese retenue, l’´ equation diff´ erentielle ∇α = 0, est
le syst` eme lin´ eaire ´ equivalent ` a l’´ equation du 4e ordre (PF). Ceci explique que les
informations locales sur la monodromie, sur κ ttt , se d´ eduisent du calcul explicite
de l’´ equation de Picard-Fuchs.
Finalement quelque mots sur le cas d’une ´ equation de Picard-Fuchs ` a points
singuliers r´ eguliers. On suppose que s est une coordonn´ ee locale autour d’un tel
point et on ´ ecrit
κ = κ sss
ds
s
⊗3
et, comme d’habitude,
Θ = s
d
ds
.
Maintenant, pour trouver κ sss il faut r´ esoudre l’´ equation
dκ
ds
= −
1
2
B 3 κ
O` u B 3 est le coefficient de Θ dans l’´ equation de Picard-Fuchs [Θ
4 +B 3 Θ
3 +B 2 Θ
2 +
· · ·]ϕ = 0.
10.1. Exemple. Dans l’exemple 9.7 de la section pr´ ec´ edente en utilisant la
coordonn´ ee s on trouve
κ sss = C 1
1
s 3 (s − 1)
,
C 1 = constante d’int´ egration.
Discutons les possibles normalisations de l’accouplement de Yukawa dans le
cas d’un param` etre s. On applique d’abord le r´ esultat classique (voir [Ince])
10.2. Th´ eor` eme. Soit donn´ ee une ´ equation diff´ erentielle d’ordre 2 sur un
disque autour de 0 ayant une singularit´ e r´ eguli` ere en 0. On suppose que la
monodromie T locale autour de 0 admet un seul bloc de Jordan pour la valeur
propre 1 avec multiplicit´ e 2. Alors, il existe une solution f 0 r´ eguli` ere et uniforme
autour de 0. De plus, il existe une solution locale f 1 autour de 0, ind´ ependante de
f 0 telle que g(s) = 2πif 1 (s) − log(s) · f 0 (s) soit uniforme. La solution f 0 est unique
` a une constante multiplicative pr` es, la solution f 1 est unique ` a un multiple de f 0
pr` es.
Si donc f 0 = 0 on pourra fixer le f 0 par f 0 (0) = 1 et ensuite le f 1 par
g(0) = 0. On peut toujours remplacer s par une autre coordonn´ ee w(s) ; de
κ sss (ds/s)
⊗3 = κ www (dw/w)
⊗3 on tire que κ est remplac´ e par (ds/dw)
3 . On
cherche ` a trouver une coordonn´ ee q “normalis´ ee” sur le disque. Dans un premier
temps, on regarde la fonction multiforme
τ (s) = f 1 (s)/f 0 (s)