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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
qui est une fonction holomorphe du param` etre t (au voisinage de s 0 ) et le tenseur
invariant est
κ = κ ttt (dt)
⊗3 ∈ (Ω
1
S )
⊗3 .
Si en outre f : X → S est une famille verselle (voir le §3.C) on a dim H
1 (T X s 0 ) =
1 = dim H
2,1 (X s 0 ) et donc H
3 (X s 0 ) est de dimension 4. La versalit´ e implique
que l’application de Kodaira-Spencer est un isomorphisme et donc que les trois
fl` eches H
k,3−k → H
k−1,4−k , k = 1, 2, 3 sont des isomorphismes (ces espaces sont
de dimension 1 et les applications sont obtenues en prenant le cup-produit avec
la classe de Kodaira-Spencer ρ(∂/∂t)). Donc κ ttt = 0 dans ce cas et les sections
d
i ω
dt i
i=0,1,2,3
forment une base du fibr´ e H
3 (X/S), sur un voisinage de s 0 . D’o` u
une relation de d´ ependance lin´ eaire
(PF)
d
4 ω
dt 4 =
3
i=0
A i (t)
d
i ω
dt i
qui est l’´ equation diff´ erentielle de Picard-Fuchs. Si α est une section plate de
H
3 (X/S), la p´ eriode ̟ = Q(α, ω) =
γ
ω (si α est la classe Poincar´ e duale du
cycle γ), satisfait ` a l’´ equation
d
4 ̟
dt 4 =
3
i=0
A i (t)
d
i ̟
dt i .
On peut d´ eriver sous le signe somme car Q est constante.
Par l’anti-sym´ etrie de Q on a Q(
d
2 ω
dt 2 ,
d
2 ω
dt 2 ) = 0 et en d´ erivant deux fois la
relation Q(ω,
d
2 ω
dt 2 ) = 0 on trouve :
d
dt
Q
ω,
d
3 ω
dt 3
= −Q
dω
dt
,
d
3 ω
dt 3
− Q
d
2 ω
dt 2 ,
d
2 ω
dt 2
= −Q
dω
dt
,
d
3 ω
dt 3
,
mais aussi
dκ ttt
dt
= Q
dω
dt
,
d
3 ω
dt 3
+ Q
ω,
d
4 ω
dt 4
= Q
dω
dt
,
d
3 ω
dt 3
+ A 3
ω,
d
3 ω
dt 3 ),
et donc, en additionnant ces deux ´ equations on a :
dκ ttt
dt
=
1
2
A 3 κ.
Cette ´ equation a pour solution (bien d´ etermin´ ee ` a une constante multiplicative
pr` es) :
(yuk)
κ ttt = e
1
2
A 3 (t)dt .