10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir
237
D’o` u
Q
ω,
∂ω
∂t α
= Q
ω,
∂
2 ω
∂t α ∂t β
= 0.
Par contre
Q
ω,
∂
3 ω
∂t α ∂t β ∂t γ
=
X t
ω ∧
∂
3 ω
∂t α ∂t β ∂t γ
est diff´ erente de z´ ero en g´ en´ eral. On va justifier que cette fonction repr´ esente
l’application lin´ eaire δ (voir la formule (iter) dans le §3.C ) associ´ ee ` a la variation
infinit´ esimale.
On a vu dans les §2.D et §3.C que la d´ eriv´ ee de l’application des p´ eriodes est
donn´ ee par
σ : T S,s 0 −→
Hom(H
p,q , H
p−1,q+1 )
o` u σ(∂/∂t) agit par le cup-produit avec ρ(∂/∂t), image de ∂/∂t par l’application
de Kodaira-Spencer ρ : T S,s 0 → H
1 (T X s 0 ). Le fibr´ e F
3 est trivialis´ e par la forme
ω et dans notre cas la formule (iter) revient ` a
σ : Sym
3 T S,s o −→ Hom(H
3,0 (X s 0 ), H
0,3 (X s 0 )) =
= Hom(C · ω(s 0 ), C · ω(s 0 ))
∂/∂t α ⊗ ∂/∂t β ⊗ ∂/∂t γ −→ {ω(s 0 ) →
∂
3 ω
∂t α ∂t β ∂t γ
(s 0 )}.
On peut donc ´ ecrire
σ(∂/∂t α ⊗ ∂/∂t β ⊗ ∂/∂t γ )(ω(s 0 )) =
X s 0
ω ∧
∂
3 ω
∂t α ∂t β ∂t γ
.
D’o` u ici la variation infinit´ esimale de la structure de Hodge fournit les invariants :
κ αβγ :=
X s 0
ω ∧
∂
3 ω
∂t α ∂t β ∂t γ
appel´ es dans ce contexte accouplement de Yukawa ([Mor1], [C-O], [H]). Le tenseur
invariant associ´ e est
κ =
α,β,γ
κ αβγ dt α ⊗ dt β ⊗ dt γ ∈ Sym
3 (Ω
1
S ).
Si dim S = 1, t est une coordonn´ ee locale en s 0 , on notera
κ ttt =
X t
ω ∧
d
3 ω
dt 3