236
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir
On reprend la discussion du §7 en consid´ erant la famille universelle d’une vari´ et´ e de CalabiYau de dimension 3 et sa variation infinit´ esimale qui conduit `
a l’accouplement de Yukawa. On
montre que, si la base est de dimension 1, cet accouplement satisfait `
a une ´ equation diff´ erentielle
d’ordre 1 dont les coefficients sont li´ es `
a ceux de l’´ equation de Picard-Fuchs, qui est une ´ equation
d’ordre 4. En cherchant une coordonn´ ee canonique q on est forc´ e d’invoquer ici l’existence de
la structure de Hodge mixte limite. Dans la derni` ere sous-section on reprend l’exemple 9.7
et on discute la pr´ ediction qui d´ ecoule de l’hypoth` ese de sym´ etrie : les coefficients dans le qd´ eveloppement de l’accouplement de Yukawa, proprement normalis´ ees, sont li´ es aux nombres de
courbes rationnelles sur le membre g´ en´ erique de la famille miroir, qui conjecturalement est la
famille des hypersurfaces quintiques dans P 4 .
10.A. Accouplement de Yukawa
On consid` ere une famille f : X → S de vari´ et´ es de Calabi-Yau ; soit alors
la VHS d´ efinie par la variation de la cohomologie de rang 3, {H
3 (X s , C)}. On
peut localement en s 0 ∈ S, supposer que F
3 = f ∗ (Ω
3
X/S ) est trivial, et du fait
que h
3,0 = 1 choisir une 3-forme holomorphe (relative) ω, telle que ω(s) = 0
pour s voisin de s 0 . On trivialise le fibr´ e vectoriel H
3 (X/S) au moyen de sections
plates (∇α = 0), soit τ 1 , . . . , τ 2b+2 une telle trivialisation (ici b = h
2,1 (X s )).
On peut consid´ erer {τ i } comme la base duale d’une base d’homologie (constante)
{γ i }. Rappelons que la forme de Hodge-Riemann (voir le §3.A) est donn´ ee par
Q(α, β) = −
X s
α ∧ β, (k = n = 3) et donc
f i := Q(τ i , ω) = −
γ i
ω
est une fonction holomorphe sur le voisinage consid´ er´ e de s 0 . Ce sont les p´ eriodes
de ω. Relativement ` a la base choisie, ω se d´ ecompose en
ω =
2b+2
i=1
α i τ i
(α i holomorphe en s 0 ).
Du fait que ∇τ i = 0,
∇ω =
2b+2
i=1
dα i ⊗ τ i .
Si t 1 , . . . , t r sont des coordonn´ ees locales en s 0 ,
∇ ∂/∂t α =
i
∂α i
∂t α
τ i .
On notera que la propri´ et´ e de transversalit´ e de Griffiths entraˆ ıne que relativement
` a la filtration de Hodge {F
p } 0p4 , on a :
∂ω
∂t α
:= ∇ ∂/∂t α ω ∈ F
2
et
∂
2 ω
∂t α ∂t β
∈ F
1 .
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
10. Vari´ et´ es de Calabi-Yau et sym´ etrie miroir
On reprend la discussion du §7 en consid´ erant la famille universelle d’une vari´ et´ e de CalabiYau de dimension 3 et sa variation infinit´ esimale qui conduit `
a l’accouplement de Yukawa. On
montre que, si la base est de dimension 1, cet accouplement satisfait `
a une ´ equation diff´ erentielle
d’ordre 1 dont les coefficients sont li´ es `
a ceux de l’´ equation de Picard-Fuchs, qui est une ´ equation
d’ordre 4. En cherchant une coordonn´ ee canonique q on est forc´ e d’invoquer ici l’existence de
la structure de Hodge mixte limite. Dans la derni` ere sous-section on reprend l’exemple 9.7
et on discute la pr´ ediction qui d´ ecoule de l’hypoth` ese de sym´ etrie : les coefficients dans le qd´ eveloppement de l’accouplement de Yukawa, proprement normalis´ ees, sont li´ es aux nombres de
courbes rationnelles sur le membre g´ en´ erique de la famille miroir, qui conjecturalement est la
famille des hypersurfaces quintiques dans P 4 .
10.A. Accouplement de Yukawa
On consid` ere une famille f : X → S de vari´ et´ es de Calabi-Yau ; soit alors
la VHS d´ efinie par la variation de la cohomologie de rang 3, {H
3 (X s , C)}. On
peut localement en s 0 ∈ S, supposer que F
3 = f ∗ (Ω
3
X/S ) est trivial, et du fait
que h
3,0 = 1 choisir une 3-forme holomorphe (relative) ω, telle que ω(s) = 0
pour s voisin de s 0 . On trivialise le fibr´ e vectoriel H
3 (X/S) au moyen de sections
plates (∇α = 0), soit τ 1 , . . . , τ 2b+2 une telle trivialisation (ici b = h
2,1 (X s )).
On peut consid´ erer {τ i } comme la base duale d’une base d’homologie (constante)
{γ i }. Rappelons que la forme de Hodge-Riemann (voir le §3.A) est donn´ ee par
Q(α, β) = −
X s
α ∧ β, (k = n = 3) et donc
f i := Q(τ i , ω) = −
γ i
ω
est une fonction holomorphe sur le voisinage consid´ er´ e de s 0 . Ce sont les p´ eriodes
de ω. Relativement ` a la base choisie, ω se d´ ecompose en
ω =
2b+2
i=1
α i τ i
(α i holomorphe en s 0 ).
Du fait que ∇τ i = 0,
∇ω =
2b+2
i=1
dα i ⊗ τ i .
Si t 1 , . . . , t r sont des coordonn´ ees locales en s 0 ,
∇ ∂/∂t α =
i
∂α i
∂t α
τ i .
On notera que la propri´ et´ e de transversalit´ e de Griffiths entraˆ ıne que relativement
` a la filtration de Hodge {F
p } 0p4 , on a :
∂ω
∂t α
:= ∇ ∂/∂t α ω ∈ F
2
et
∂
2 ω
∂t α ∂t β
∈ F
1 .