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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
Puisque
κ τ τ τ = q
∂
∂q
log q 2 ,
le d´ eveloppement de κ τ τ τ (voir (Myst)) est ´ equivalent au d´ eveloppement comme
produit infini :
q 2 = q
n 0
d1
(1 − q
d )
−n d d
2 ,
ce qui donne une interpr´ etation ` a (Myst) purement en termes de structures de
Hodge mixtes.
Soit M
∗ le membre g´ en´ erique de la famille miroir M
∗
t et soit H
+ (M
∗ ) =
H
0 ⊕ H
2 ⊕ H
4 ⊕ H
6 =
3
k=0 Zf k la cohomologie paire. On peut modifier la
“variation constante” sur H
+ (M
∗ ) × ∆
∗ en utilisant l’orbite nilpotente associ´ ee
` a l’op´ erateur Λ comme expliqu´ e dans l’exemple 11.2. On obtient une extension
it´ er´ ee des structures de Tate Z(−3) par Z(−2) par Z(−1) par Z(0) avec classes
d’extension q, deg(N )q, q et c’est donc pas une structure int´ eressante ; la connexion
s’´ ecrit dans la base f k comme dans l’exemple 11.3 et il faut remplacer cette
connexion par la connexion du mod` ele A :
∇ A =









0
dq
q
0
0
0 0 K(q)
dq
q
0
0 0
0
dq
q
0 0
0
0









o` u maintenant
K(q) = deg(M
∗ ) +
∞
d=1
n d
d
3 q
d
1 − q d ,
avec n d (d 1) le nombre de courbes rationnelles de degr´ e d sur M
∗ (ou l’invariant
de Gromov-Witten si n´ ecessaire) et donc ∇ A est enti` erement d´ efini en termes de
la g´ eom´ etrie du miroir. Pour la nouvelle variation les classes d’extension sont q,
K(q) et q.
Donc, comparant avec la formule (fin), on conclut que l’hypoth` ese de sym´ etrie
miroir peut ˆ etre reformul´ ee comme suit :
Conjecture Finale. Pour chaque q ∈ ∆
∗ , la structure mixte sur H
+ (M
∗ ) × {q}
co¨ ıncide avec la structure mixte de Deligne sur H
3 (M q ).
Bibliographie
[A1]
Arapura, D. : Hodge Theory with local coefficients on compact varieties, Duke Math.
J. 61 (1990) 531–543.