9. ´
Equations de Picard-Fuchs
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du paragraphe pr´ ec´ edent. On suppose dim(S) = 1. Soit s un param` etre local
sur S et soit Ω(s) = h(s)Ω une n + 1-forme rationnelle sur P
n+1 qui d´ epend
holomorphiquement de s. L’effet de la connexion plate de Gauss-Manin se d´ ecrit
par :
(GM)
Res X f (s)
d
k
ds k Ω(s)
=
∇
k
d/ds res X f (s) Ω(s)
,
o` u [α] d´ esigne la classe de cohomologie d’une forme α. Cette formule est facilement
d´ eductible de la formule §8(tub).
9.6. Exemple. Soit la famille de courbes elliptiques (famille de Hesse) :
f (u) := Z
3
0 + Z
3
1 + Z
3
2 − 3uZ 0 Z 1 Z 2
au dessus de P
1 {∞, 1, ρ, ρ
2 } o` u ρ = e
2πi
3 . Pour u = ∞ la courbe d´ eg´ en` ere
en trois droites et on va ´ etudier la situation autour de ce point. On va d’abord
d´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle associ´ ee aux formes holomorphes ω(u) sur la
famille f (u) = 0.
On ´ ecrit pour cela :
(Rat) ℓ
Ω ℓ (u) :=
(−1)
ℓ−1 (ℓ − 1)! u
ℓ
Z
ℓ−1
j
f (u) ℓ
Ω, ℓ = 1, . . . .
On note que res(Ω 1 (u)) = ω(u) est une forme holomorphe sur X f (s) et grˆ ace ` a la
formule (GM) on a
(GM) bis
Ω k (u) =
u
d
du
k
Ω 1 (u) = ∇
k
u
d
du
ω(u) mod les formes exactes.
Les calculs donnent
(Z 0 Z 1 Z 2 )
2 (1 − u
3 ) =
2
k=0
A k
∂f
∂Z k
o` u
A 0 =
1
3
uZ 0 Z
3
1
A 1 =
1
3
u
2 Z 0 Z
2
1 Z 2
A 2 =
1
3
Z
2
0 Z
2
1 .
Utilisant la formule (R´ ed) (voir le Lemme 8.11) on trouve que Ω 3 (u) ≡ P Ω modulo
les formes exactes, o` u
P =
u
3
1 − u 3 ·
1
3 uZ
3
1 +
2
3 u
2 Z 0 Z 1 Z 2
f 2
.