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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
Puisque P Ω et Ω 2 (u) ont un pˆ ole d’ordre 2, le Corollaire 8.12 entraˆ ıne qu’il existe
une fonction ϕ(u) tel que P Ω − ϕ(u)Ω 2 (u) =
q
f 2 Ω avec q ∈ J f . On trouve en effet
que
u
3
1 − u 3 · (
1
3
uZ
3
1 +
2
3
u
2 Z 0 Z 1 Z 2 ) +
u
3
1 − u 3 (−u
2 Z 0 Z 1 Z 2 ) =
1
9
u
3
1 − u 3 uZ 1
∂f
∂Z 1
∈J f
et une nouvelle application de (R´ ed) donne que
Ω 3 (u) +
u
3
1 − u 3 Ω 2 (u) −
1
9
u
3
1 − u 3 Ω 1 (u) = 0 mod les formes exactes.
On note maintenant que Z/3Z agit sur la famille par : ρ · (Z 0 , Z 1 , Z 2 , u) =
(Z 0 , Z 1 , ρZ 2 , ρ
2 u) et donc les fibres au dessus de u, ρu et ρ
2 u sont isomorphes. Il
est donc naturel de prendre pour param` etre
s = u
−3 .
Alors
Θ = −
1
3
u
d
du
= s
d
ds
et on trouve que (toujours modulo les formes exactes) :
[Θ
2 + B 1 Θ + B 0 ]Ω 1 (u) = 0
o` u
B 0 =
2
9
s
s − 1
B 1 =
s
s − 1
.
Cette ´ equation est ´ equivalente au syst` eme :
Θ
Ω 1
ΘΩ 1
= A(s)
Ω 1
ΘΩ 1
o` u
A(s) =
0
1
−B 0 −B 1
.
En utilisant la formule (GM) bis on trouve que la famille des 1-formes ω(s)
sur la famille des courbes elliptiques satisfait au mˆ eme syst` eme d’´ equations. Ce
syst` eme est ´ equivalent ` a l’´ equation de Picard-Fuchs.
Le Corollaire 5 nous donne : A(0) =
0 1
0 0
et alors l’op´ erateur de monodromie locale est
1 2πi
0 1
.