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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
Voir le §8 suite au Lemme 8.4 pour la d´ efinition du faisceau Ω
1 (log T ). On remarque
que ici, dans le cas de la dimension 1 on a que Ω
1 (log T ) = Ω
1 (T ) est, localement
autour d’un point de T , engendr´ e par ds/s. L’op´ erateur Θ correspond ` a ∇ s
d
ds
et
une traduction du fait que ∇ existe est de dire que :
9.3. Lemme-D´ efinition ([Del1]). Les fonctions B j (s) sont holomorphes autour
de t. On dit que t est un point singulier r´ egulier.
L’´ equation (PF pol ) est ´ equivalente ` a un syst` eme
ΘX(s) = A(s)X(s)
o` u (ϕ(s) ´ etant une solution recherch´ ee de l’´ equation) :
X(s) =
ϕ(s)
Θϕ(s)
. . .
Θ
p−1 ϕ(s)
et
A(s) =
0
1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
· · · 0
1
−B 0 (s) · · · −B p−1 (s) −B p (s)
La matrice A(0) est appel´ ee le r´ esidu de la connexion et elle est not´ ee :
Res(∇) := A(0).
9.4. Lemme ([C-L]). Si on suppose que pour toutes les valeurs propres distinctes
λ et µ de Res(∇), λ − µ ∈ Z ; alors la monodromie autour de t est donn´ ee par
e
2πi Res(∇) .
En particulier on en d´ eduit :
9.5. Corollaire. Si B j (0) = 0, j = 0, . . . , p − 1 la monodromie locale autour de
t est e
2πiN o` u N est la matrice nilpotente
N =
0 1
· · · 0
0 0
. . .
. . .
. . . 1
0 · · · · · · 0
.
Pour appliquer ce corollaire dans la situation d’une famille d’hypersurfaces
X f (s) d’´ equation f (s)(Z 0 , . . . , Z n+1 ) = 0 dans P
n+1 , compl´ etons la discussion
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
Voir le §8 suite au Lemme 8.4 pour la d´ efinition du faisceau Ω
1 (log T ). On remarque
que ici, dans le cas de la dimension 1 on a que Ω
1 (log T ) = Ω
1 (T ) est, localement
autour d’un point de T , engendr´ e par ds/s. L’op´ erateur Θ correspond ` a ∇ s
d
ds
et
une traduction du fait que ∇ existe est de dire que :
9.3. Lemme-D´ efinition ([Del1]). Les fonctions B j (s) sont holomorphes autour
de t. On dit que t est un point singulier r´ egulier.
L’´ equation (PF pol ) est ´ equivalente ` a un syst` eme
ΘX(s) = A(s)X(s)
o` u (ϕ(s) ´ etant une solution recherch´ ee de l’´ equation) :
X(s) =
ϕ(s)
Θϕ(s)
. . .
Θ
p−1 ϕ(s)
et
A(s) =
0
1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
· · · 0
1
−B 0 (s) · · · −B p−1 (s) −B p (s)
La matrice A(0) est appel´ ee le r´ esidu de la connexion et elle est not´ ee :
Res(∇) := A(0).
9.4. Lemme ([C-L]). Si on suppose que pour toutes les valeurs propres distinctes
λ et µ de Res(∇), λ − µ ∈ Z ; alors la monodromie autour de t est donn´ ee par
e
2πi Res(∇) .
En particulier on en d´ eduit :
9.5. Corollaire. Si B j (0) = 0, j = 0, . . . , p − 1 la monodromie locale autour de
t est e
2πiN o` u N est la matrice nilpotente
N =
0 1
· · · 0
0 0
. . .
. . .
. . . 1
0 · · · · · · 0
.
Pour appliquer ce corollaire dans la situation d’une famille d’hypersurfaces
X f (s) d’´ equation f (s)(Z 0 , . . . , Z n+1 ) = 0 dans P
n+1 , compl´ etons la discussion