9. ´
Equations de Picard-Fuchs
231
qui est un isomorphisme quand p = r. Dans ce cas on dit que α est une section
cyclique.
9.1. Exemple. Le syst` eme local provenant de l’homologie des fibres d’une famille
alg´ ebrique f : X → S. Pour V S on prend le syst` eme local dont la fibre au dessus de
s ∈ S est le groupe d’homologie H n (X s , C) de la fibre X s = f
−1 (s) en dimension
n = dim X s .
L’accouplement donn´ e par l’int´ egration sur les n-cycles
V S × R
n f ∗ C → C
(γ, [ω]) →
γ
ω
met en dualit´ e V S et R
n f ∗ C, le syst` eme local qui a pour fibre au dessus de s le
groupe de cohomologie H
n (X s , C) (voir le §1).
On sait que le fibr´ e V
∨ = R
n f ∗ C ⊗ O S supporte une variation de structure
de Hodge et le sous-fibr´ e F
n est le sous-fibr´ e des classes de n-formes relatives.
Sur chaque fibre celles-ci donnent des n-formes holomorphes. Une section ω(s)
m´ eromorphe de V
∨ holomorphe sur S appartenant ` a F
n est la mˆ eme chose qu’une
famille de formes holomorphes d´ ependant de fa¸ con m´ eromorphe de s. Dans ce
cas, l’´ equation diff´ erentielle associ´ ee ` a la classe de cohomologie [ω(s)] est appel´ ee
´ equation de Picard-Fuchs. La discussion pr´ ec´ edente entraˆ ıne que les solutions sont
donn´ ees par des p´ eriodes
γ
ω(s), γ ∈ H n (X s , C) pourvu que l’on consid` ere γ
comme section plate (multiforme) du syst` eme local R n f ∗ C.
9.2. Remarque. La section [ω(s)] n’est pas n´ ecessairement cyclique. Par contre, elle sera cyclique pour le sous-syst` eme local V
∨
S de R
n f ∗ C engendr´ e par
[ω(s)]. La monodromie (classique) de cette ´ equation diff´ erentielle co¨ ıncide avec
la monodromie de ce sous-syst` eme. En fait, V S,s est l’orthogonal (par rapport ` a
l’intersection entre n-cycles) de l’annulateur de V
∨
S,s , le plus petit sous-espace de
H
n (X s , C) contenant [ω] et stable par la monodromie. En particulier
γ
ω = 0
pour γ ∈ V S,s implique que γ = 0. Autrement dit, par prolongement analytique
des solutions locales
γ
ω, on obtient des solutions de la forme
γ ′ ω (monodromie
classique) o` u γ
′ se d´ eduit de γ par la monodromie du syst` eme V S .
Maintenant soit s une coordonn´ ee autour de l’un des points t ∈ T . On introduit
Θ := s
d
ds
et on r´ e´ ecrit l’´ equation de Picard-Fuchs :
(PF pol )
[Θ
p + B p−1 (s)Θ
p−1 + · · · + B 0 (s)]φ = 0.
La connexion ∇ s’´ etend en une connexion ` a pˆ oles logarithmiques sur T :
∇ : V → V ⊗ Ω
1 (log T )
Equations de Picard-Fuchs
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qui est un isomorphisme quand p = r. Dans ce cas on dit que α est une section
cyclique.
9.1. Exemple. Le syst` eme local provenant de l’homologie des fibres d’une famille
alg´ ebrique f : X → S. Pour V S on prend le syst` eme local dont la fibre au dessus de
s ∈ S est le groupe d’homologie H n (X s , C) de la fibre X s = f
−1 (s) en dimension
n = dim X s .
L’accouplement donn´ e par l’int´ egration sur les n-cycles
V S × R
n f ∗ C → C
(γ, [ω]) →
γ
ω
met en dualit´ e V S et R
n f ∗ C, le syst` eme local qui a pour fibre au dessus de s le
groupe de cohomologie H
n (X s , C) (voir le §1).
On sait que le fibr´ e V
∨ = R
n f ∗ C ⊗ O S supporte une variation de structure
de Hodge et le sous-fibr´ e F
n est le sous-fibr´ e des classes de n-formes relatives.
Sur chaque fibre celles-ci donnent des n-formes holomorphes. Une section ω(s)
m´ eromorphe de V
∨ holomorphe sur S appartenant ` a F
n est la mˆ eme chose qu’une
famille de formes holomorphes d´ ependant de fa¸ con m´ eromorphe de s. Dans ce
cas, l’´ equation diff´ erentielle associ´ ee ` a la classe de cohomologie [ω(s)] est appel´ ee
´ equation de Picard-Fuchs. La discussion pr´ ec´ edente entraˆ ıne que les solutions sont
donn´ ees par des p´ eriodes
γ
ω(s), γ ∈ H n (X s , C) pourvu que l’on consid` ere γ
comme section plate (multiforme) du syst` eme local R n f ∗ C.
9.2. Remarque. La section [ω(s)] n’est pas n´ ecessairement cyclique. Par contre, elle sera cyclique pour le sous-syst` eme local V
∨
S de R
n f ∗ C engendr´ e par
[ω(s)]. La monodromie (classique) de cette ´ equation diff´ erentielle co¨ ıncide avec
la monodromie de ce sous-syst` eme. En fait, V S,s est l’orthogonal (par rapport ` a
l’intersection entre n-cycles) de l’annulateur de V
∨
S,s , le plus petit sous-espace de
H
n (X s , C) contenant [ω] et stable par la monodromie. En particulier
γ
ω = 0
pour γ ∈ V S,s implique que γ = 0. Autrement dit, par prolongement analytique
des solutions locales
γ
ω, on obtient des solutions de la forme
γ ′ ω (monodromie
classique) o` u γ
′ se d´ eduit de γ par la monodromie du syst` eme V S .
Maintenant soit s une coordonn´ ee autour de l’un des points t ∈ T . On introduit
Θ := s
d
ds
et on r´ e´ ecrit l’´ equation de Picard-Fuchs :
(PF pol )
[Θ
p + B p−1 (s)Θ
p−1 + · · · + B 0 (s)]φ = 0.
La connexion ∇ s’´ etend en une connexion ` a pˆ oles logarithmiques sur T :
∇ : V → V ⊗ Ω
1 (log T )