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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
9. ´
Equations de Picard-Fuchs
Le but de ce paragraphe est de d´ efinir l’´ equation de Picard-Fuchs, et pour une famille de
vari´ et´ es projectives `
a un param` etre expliquer le lien avec la connexion de Gauss-Manin. On
d´ etermine cette ´ equation dans quelques exemples. Le dernier exemple sera utilis´ e dans le §10
pour trouver le q-d´ eveloppement li´ e `
a la sym´ etrie miroir. On explique aussi comment calculer la
monodromie locale sur cet exemple.
On suppose d´ esormais que S est une courbe alg´ ebrique complexe lisse, S =
S T , o` u S est une courbe lisse compacte et T est un nombre fini de points.
Soit V S un syst` eme local sur S soit ∇ la connexion plate de Gauss-Manin sur
le fibr´ e associ´ e V = V S ⊗ O S d´ efinie par (voir le §2) :
∇(v ⊗ f ) = v ⊗ df.
Sur V
∨ , le dual de V on a la connexion naturelle ∇
∨ d´ efinie par
dν, v = ∇
∨ ν, v + ν, ∇v,
o` u v est une section holomorphe locale de V et ν une section locale de V
∨ (voir
[Dem]).
Soit S o ⊂ S un ouvert de Zariski affine tel qu’on ait une trivialisation :
V
∨ |S o
∼ =
− − → O
⊕r
S o
(r = rang V S ).
Une coordonn´ ee affine s induit un champ vectoriel d/ds sur S o et en composant la
connexion ∇
∨ sur V
∨ |S o et la contraction avec d/ds on obtient l’endomorphisme
D : V
∨ |S o → V
∨ |S o .
Si α est une section m´ eromorphe de V
∨ sans pˆ oles au dessus de S o , en utilisant la
trivialisation, on peut regarder les sections α, Dα, D
2 α, . . . , D
r α comme contenues
dans C(S)
r ⊃ Γ(S o , O
⊕r ) sont d´ ependantes sur C(S) ; il y a une valeur minimale
p tel que α, Dα, . . . , D
p α soient d´ ependantes et, en rempla¸ cant D par d/ds, on
obtient une ´ equation diff´ erentielle : (normalis´ ee par le fait que le coefficient de
(
d
dt
)
p est 1)
(d/dt)
p + A p−1 (s)(d/dt)
p−1 + · · · + A 0 (s) = 0.
Les solutions forment le syst` eme local Sol(D) et pour chaque section plate v de V S
le fonction α, v est une solution de D = 0. En fait, dα, v = ∇
∨ α, v entraˆ ıne que
(d/dt)
p + A p−1 (s)(d/dt)
p−1 + · · · + A 0 (s)
α, v = (∇
∨ )
p α + A p−1 (s)(∇
∨ )
p−1 α +
· · · + A 0 (s)α, v = 0.
On obtient alors un homomorphisme surjectif de syst` emes locaux :
V S → Sol(D)
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
9. ´
Equations de Picard-Fuchs
Le but de ce paragraphe est de d´ efinir l’´ equation de Picard-Fuchs, et pour une famille de
vari´ et´ es projectives `
a un param` etre expliquer le lien avec la connexion de Gauss-Manin. On
d´ etermine cette ´ equation dans quelques exemples. Le dernier exemple sera utilis´ e dans le §10
pour trouver le q-d´ eveloppement li´ e `
a la sym´ etrie miroir. On explique aussi comment calculer la
monodromie locale sur cet exemple.
On suppose d´ esormais que S est une courbe alg´ ebrique complexe lisse, S =
S T , o` u S est une courbe lisse compacte et T est un nombre fini de points.
Soit V S un syst` eme local sur S soit ∇ la connexion plate de Gauss-Manin sur
le fibr´ e associ´ e V = V S ⊗ O S d´ efinie par (voir le §2) :
∇(v ⊗ f ) = v ⊗ df.
Sur V
∨ , le dual de V on a la connexion naturelle ∇
∨ d´ efinie par
dν, v = ∇
∨ ν, v + ν, ∇v,
o` u v est une section holomorphe locale de V et ν une section locale de V
∨ (voir
[Dem]).
Soit S o ⊂ S un ouvert de Zariski affine tel qu’on ait une trivialisation :
V
∨ |S o
∼ =
− − → O
⊕r
S o
(r = rang V S ).
Une coordonn´ ee affine s induit un champ vectoriel d/ds sur S o et en composant la
connexion ∇
∨ sur V
∨ |S o et la contraction avec d/ds on obtient l’endomorphisme
D : V
∨ |S o → V
∨ |S o .
Si α est une section m´ eromorphe de V
∨ sans pˆ oles au dessus de S o , en utilisant la
trivialisation, on peut regarder les sections α, Dα, D
2 α, . . . , D
r α comme contenues
dans C(S)
r ⊃ Γ(S o , O
⊕r ) sont d´ ependantes sur C(S) ; il y a une valeur minimale
p tel que α, Dα, . . . , D
p α soient d´ ependantes et, en rempla¸ cant D par d/ds, on
obtient une ´ equation diff´ erentielle : (normalis´ ee par le fait que le coefficient de
(
d
dt
)
p est 1)
(d/dt)
p + A p−1 (s)(d/dt)
p−1 + · · · + A 0 (s) = 0.
Les solutions forment le syst` eme local Sol(D) et pour chaque section plate v de V S
le fonction α, v est une solution de D = 0. En fait, dα, v = ∇
∨ α, v entraˆ ıne que
(d/dt)
p + A p−1 (s)(d/dt)
p−1 + · · · + A 0 (s)
α, v = (∇
∨ )
p α + A p−1 (s)(∇
∨ )
p−1 α +
· · · + A 0 (s)α, v = 0.
On obtient alors un homomorphisme surjectif de syst` emes locaux :
V S → Sol(D)