9. ´
Equations de Picard-Fuchs
229
groupe de cohomologie de P
n+1 X f int´ eressant est le groupe en dimension n + 1.
Les conditions du th´ eor` eme sont v´ erifi´ ees (th´ eor` eme d’annulation de Bott, [Bott])
et le th´ eor` eme dans ce cas donne un r´ esultat de Griffiths :
8.10. Th´ eor` eme ([Grif2]). L’application “r´ esidu” induit un isomorphisme du
sous-espace du groupe de De Rham H
n+1
DR (P
n X f ) form´ ee des classes provenant
des formes ayant un pˆ ole d’ordre n − p + 1 sur la p-i` eme partie F
p de la filtration
de Hodge de Prim
n (X f ).
En particulier on voit que chaque n+1-forme rationnelle avec au plus un pˆ ole le
long de X f doit ˆ etre cohomologue ` a une forme ayant un pˆ ole d’ordre au plus n + 1,
car F
0 = H
n (X f ). En effet Griffiths donne une formule pour abaisser l’ordre du
pˆ ole modulo les formes exactes. Pour expliquer cela on a besoin de savoir comment
s’´ ecrivent les n + 1-formes rationnelles sur P
n+1 ayant au plus un pˆ ole d’ordre k.
Par un calcul direct en coordonn´ ees affines on trouve qu’un telle forme s’´ ecrit :
A
f k Ω,
o` u
Ω =
j
(−1)
j Z j dZ 0 ∧ . . .
dZ j . . . . . . ∧ dZ n+1 et o` u deg A + n + 2 = kd.
Aussi, une n-forme rationnelle avec pˆ ole le long de X f s’´ ecrit
ϕ =
1
f k−1
i
i+j [Z i A j − Z j A i ]dZ 0 ∧ . . .
dZ i ∧ . . . ∧
dZ j ∧ . . . ∧ dZ n+1
et donc :
8.11. Lemme. Soient A 0 , . . . , A n+1 des polynˆ omes d’ordre (k − 1)d − n − 1. On a
(R´ ed)
(k − 1)
n+1
j=0 A j
∂f
∂Z j
f k
Ω ≡
n+1
j=0
∂A j
∂Z j
f k−1 Ω + dϕ
8.12. Corollaire. Soit J f ⊂ C[Z 0 , . . . , Z n+1 ] l’id´ eal de Jacobi de f c’est-` a-dire
l’id´ eal engendr´ e par les ∂f
∂Z j , j = 0, . . . , n + 1. L’application r´ esidu induit un
isomorphisme
(C[Z 0 , . . . , Z n+1 ]/J f )
d(n+1−p)−(n+2) ∼ =
− − → Prim
p,n−p (X f ).
Preuve. Le Th´ eor` eme 10 implique qu’on a une surjection
(C[Z 0 , . . . , Z n+1 ])
d(n+1−p)−(n+2) → F
p /F
p+1 = Prim
p,n−p (X f )
avec noyau consistant en les polynˆ omes A provenant des formes de type dϕ+ (forme
ayant ordre de pˆ ole n−p) et ` a cause du Lemme ce sont exactement les polynˆ omes
de la forme A
′ + f B o` u A
′ ∈ J f . L’´ equation d’Euler
j Z j
∂f
∂Z j
= deg(f )f montre
que f ∈ J f et donc le Corollaire.
Equations de Picard-Fuchs
229
groupe de cohomologie de P
n+1 X f int´ eressant est le groupe en dimension n + 1.
Les conditions du th´ eor` eme sont v´ erifi´ ees (th´ eor` eme d’annulation de Bott, [Bott])
et le th´ eor` eme dans ce cas donne un r´ esultat de Griffiths :
8.10. Th´ eor` eme ([Grif2]). L’application “r´ esidu” induit un isomorphisme du
sous-espace du groupe de De Rham H
n+1
DR (P
n X f ) form´ ee des classes provenant
des formes ayant un pˆ ole d’ordre n − p + 1 sur la p-i` eme partie F
p de la filtration
de Hodge de Prim
n (X f ).
En particulier on voit que chaque n+1-forme rationnelle avec au plus un pˆ ole le
long de X f doit ˆ etre cohomologue ` a une forme ayant un pˆ ole d’ordre au plus n + 1,
car F
0 = H
n (X f ). En effet Griffiths donne une formule pour abaisser l’ordre du
pˆ ole modulo les formes exactes. Pour expliquer cela on a besoin de savoir comment
s’´ ecrivent les n + 1-formes rationnelles sur P
n+1 ayant au plus un pˆ ole d’ordre k.
Par un calcul direct en coordonn´ ees affines on trouve qu’un telle forme s’´ ecrit :
A
f k Ω,
o` u
Ω =
j
(−1)
j Z j dZ 0 ∧ . . .
dZ j . . . . . . ∧ dZ n+1 et o` u deg A + n + 2 = kd.
Aussi, une n-forme rationnelle avec pˆ ole le long de X f s’´ ecrit
ϕ =
1
f k−1
i
i+j [Z i A j − Z j A i ]dZ 0 ∧ . . .
dZ i ∧ . . . ∧
dZ j ∧ . . . ∧ dZ n+1
et donc :
8.11. Lemme. Soient A 0 , . . . , A n+1 des polynˆ omes d’ordre (k − 1)d − n − 1. On a
(R´ ed)
(k − 1)
n+1
j=0 A j
∂f
∂Z j
f k
Ω ≡
n+1
j=0
∂A j
∂Z j
f k−1 Ω + dϕ
8.12. Corollaire. Soit J f ⊂ C[Z 0 , . . . , Z n+1 ] l’id´ eal de Jacobi de f c’est-` a-dire
l’id´ eal engendr´ e par les ∂f
∂Z j , j = 0, . . . , n + 1. L’application r´ esidu induit un
isomorphisme
(C[Z 0 , . . . , Z n+1 ]/J f )
d(n+1−p)−(n+2) ∼ =
− − → Prim
p,n−p (X f ).
Preuve. Le Th´ eor` eme 10 implique qu’on a une surjection
(C[Z 0 , . . . , Z n+1 ])
d(n+1−p)−(n+2) → F
p /F
p+1 = Prim
p,n−p (X f )
avec noyau consistant en les polynˆ omes A provenant des formes de type dϕ+ (forme
ayant ordre de pˆ ole n−p) et ` a cause du Lemme ce sont exactement les polynˆ omes
de la forme A
′ + f B o` u A
′ ∈ J f . L’´ equation d’Euler
j Z j
∂f
∂Z j
= deg(f )f montre
que f ∈ J f et donc le Corollaire.