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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
8B. Filtration par l’ordre du pˆ ole et filtration de Hodge
Comme dans le cas compact (§1 ou [Dem],§9) on introduit la filtration “na¨ ıve”
F sur les complexes Ω
• (∗) et P
k
P . La filtration induite sur l’hypercohomologie sera
aussi not´ ee F . La suite spectrale d’hypercohomologie s’´ ecrit dans ce cas :
H
q (P, Ω
p
P (∗)) =⇒ H
p+q (P X, C)
mais cette suite ne d´ eg´ en` ere pas en g´ en´ eral.
La filtration F de Hodge sera calcul´ ee dans cette situation en utilisant le souscomplexe Ω
p
P (log X) de Ω
• (∗).
On voit directement que
ker(d : Ω
p (log X) → Ω
p+1 (log X)) = ker(d : Ω
p
P (1) → Ω
p+1
P (2))
et donc
F
p H
p+q (P X, C) = F
p H
p+q (Ω
• (log X))
= i
p
∗ H
p+q (F
p (Ω
• (log X))) = i
p
∗ H
q (P, Z
p (1)).
8.7. Lemme. Si H
a (P, Ω
b
P (c)) = 0 quels que soient a, b, c > 0, on a pour
p + q = n + 1 que H
q (P, Z
p
P (1)) = Γ(P, Ω
n+1
P (q + 2))/dΓ(Ω
n
P (q + 1)).
Preuve. Comme dans la preuve classique faisceautique (voir [God]) du th´ eor` eme
de De Rham, les conditions du lemme impliquent que
H
q (P, Z
p
P (1)) = H
q (Γ(P, P
• )),
o` u on regarde le complexe Γ(P, P
• )) comme un complexe commen¸ cant en degr´ e
z´ ero.
8.8. Corollaire. Dans les conditions du lemme pr´ ec´ edent, on a
F
p+1 H
n+1 (P X, C) = H
n−p (P, Z
p
P (1)) = Γ(Ω
n+1
P (n − p + 1))/dΓ(Ω
n
P (n − p))
On combine ce r´ esultat avec le Corollaire 5 et on obtient :
8.9. Th´ eor` eme. Soit P une vari´ et´ e projective lisse de dimension n + 1 et
soit X ⊂ P une hypersurface lisse. On suppose que X est tr` es ample, que
Prim
n (P, C) = 0 et que H
a (Ω
b
P (c)) = 0 quels que soient a, b, c > 0. Alors
l’application “R´ esidu” induit un isomorphisme
F
p+1 H
n+1 (P X, C) = Γ(Ω
n+1
P (n − p + 1))/dΓ(Ω
n
P (n − p)) → F
p Prim
n (X, C).
Maintenant, soit X f ⊂ P
n+1 une hypersurface lisse donn´ ee par un polynˆ ome
homog` ene f de degr´ e d en coordonn´ ees homog` enes Z 0 , . . . , Z n+1 de P
n+1 . Le seul
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
8B. Filtration par l’ordre du pˆ ole et filtration de Hodge
Comme dans le cas compact (§1 ou [Dem],§9) on introduit la filtration “na¨ ıve”
F sur les complexes Ω
• (∗) et P
k
P . La filtration induite sur l’hypercohomologie sera
aussi not´ ee F . La suite spectrale d’hypercohomologie s’´ ecrit dans ce cas :
H
q (P, Ω
p
P (∗)) =⇒ H
p+q (P X, C)
mais cette suite ne d´ eg´ en` ere pas en g´ en´ eral.
La filtration F de Hodge sera calcul´ ee dans cette situation en utilisant le souscomplexe Ω
p
P (log X) de Ω
• (∗).
On voit directement que
ker(d : Ω
p (log X) → Ω
p+1 (log X)) = ker(d : Ω
p
P (1) → Ω
p+1
P (2))
et donc
F
p H
p+q (P X, C) = F
p H
p+q (Ω
• (log X))
= i
p
∗ H
p+q (F
p (Ω
• (log X))) = i
p
∗ H
q (P, Z
p (1)).
8.7. Lemme. Si H
a (P, Ω
b
P (c)) = 0 quels que soient a, b, c > 0, on a pour
p + q = n + 1 que H
q (P, Z
p
P (1)) = Γ(P, Ω
n+1
P (q + 2))/dΓ(Ω
n
P (q + 1)).
Preuve. Comme dans la preuve classique faisceautique (voir [God]) du th´ eor` eme
de De Rham, les conditions du lemme impliquent que
H
q (P, Z
p
P (1)) = H
q (Γ(P, P
• )),
o` u on regarde le complexe Γ(P, P
• )) comme un complexe commen¸ cant en degr´ e
z´ ero.
8.8. Corollaire. Dans les conditions du lemme pr´ ec´ edent, on a
F
p+1 H
n+1 (P X, C) = H
n−p (P, Z
p
P (1)) = Γ(Ω
n+1
P (n − p + 1))/dΓ(Ω
n
P (n − p))
On combine ce r´ esultat avec le Corollaire 5 et on obtient :
8.9. Th´ eor` eme. Soit P une vari´ et´ e projective lisse de dimension n + 1 et
soit X ⊂ P une hypersurface lisse. On suppose que X est tr` es ample, que
Prim
n (P, C) = 0 et que H
a (Ω
b
P (c)) = 0 quels que soient a, b, c > 0. Alors
l’application “R´ esidu” induit un isomorphisme
F
p+1 H
n+1 (P X, C) = Γ(Ω
n+1
P (n − p + 1))/dΓ(Ω
n
P (n − p)) → F
p Prim
n (X, C).
Maintenant, soit X f ⊂ P
n+1 une hypersurface lisse donn´ ee par un polynˆ ome
homog` ene f de degr´ e d en coordonn´ ees homog` enes Z 0 , . . . , Z n+1 de P
n+1 . Le seul