8. Cohomologie d’une hypersurface
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et donc res =
1
2πi ∂ : le troisi` eme carr´ e du diagramme commute (` a multiplication
avec
1
2πi
pr` es).
Nous appliquerons cette discussion dans le cas o` u X est une hypersurface de
P
n+1 . Les conditions de la proposition suivante seront v´ erifi´ ees.
8.5. Proposition. Soit X un diviseur tr` es ample. Alors, Res : H
n+1 (P X, C) →
H
n (X, C) est toujours injectif. Si Prim
n (P, C) = 0, alors l’image est la partie
primitive de H
n (X, C).
Preuve. Par le th´ eor` eme de Lefschetz,
i
∗ : H
n+1 (P, C) → H
n+1 (X, P )
est un isomorphisme et par cons´ equent l’adjoint
∂
n−1 : H
n−1 (X, C) → H
n+1 (P, C)
est aussi un isomorphisme et donc Res
n : H
n+1 (P X, C) → H
n (X, C) est injectif.
L’image de cet application, par (gys), s’identifie avec le noyau de i ∗ : H
n (X, C) →
H
n+2 (P, C) qui (sous l’hypoth` ese Prim
n (P, C) = 0) est lui aussi form´ e de classes
primitives (par le Corollaire 2).
Si on fixe un degr´ e dans (Res), la suite longue en cohomologie s’´ ecrit :
· · · −→ H
q−1 (Ω
p−1 (X))
∂
q−1,p−1
−−−−−−−→ H
q (Ω
p
P ) −→ H
q (Ω
p
P (log X)) −→
−→ H
q (Ω
p−1
X )
∂
p,q−1
− −−−−− → H
q+1 (Ω
p
P ) −→ · · · .
L’application i
∗ pr´ eserve la d´ ecomposition de Hodge et de l` a on tire que l’adjoint
i ∗ est un homomorphisme de degr´ e (1, 1). Donc par le Corollaire 3 et la Proposition
5, ∂
q−1,p−1 est un isomorphisme et ∂
p,q−1 est surjectif quel que soient p, q avec
p + q = n + 1. Le mˆ eme argument que dans la preuve du Corollaire 3 alors montre :
8.6. Corollaire. Sous les hypoth` eses de la Proposition on a une d´ ecomposition
H
n+1 (P X, C) =
p+q=n+1
H
q (Ω
p
P (log X))
et l’application r´ esidu induit un isomorphisme
H
q (Ω
p
P (log X))
∼
−→ Prim
p−1,q (X).