226
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
est l’adjoint (par rapport au cup-produit) de
i
∗ : H
2n−m+1 (P, C) → H
2n−m+1 (X, C).
Ensuite, on note qu’il y a une application naturelle :
j : H
m = H
m (Ω
•
P (log X)) → H
m (Ω
•
P X ) = H
m (P X, C)
qui commute avec les deux fl` eches de restrictions H
m (P, C) → H
m (Ω
•
P (log X)) et
H
m (P, C) → H
m (P X, C).
Donc, dans l’´ echelle avec lignes exactes :
· · · −→ H
m−2 (X, C)
∂
− − → H
m (P, C) →
H
m
Res
− −−− →




j
· · · −→ H
m−2 (X, C)
i ∗
− − → H
m (P, C) → H
m (P X, C)
∂
− − →
Res
− −−− → H
m−1 (X, C)
∂
m
− −− → H
m+1 (P, C) · · · −→
∂
− − →
H
m−1 (X, C)
i ∗
− − → H
m+1 (P, C) · · · −→
les deux premiers carr´ es commutent ainsi que le dernier. Alors j est injectif et
donc un isomorphisme. Pour expliciter j on regarde la suite spectrale E
p,q
1
=
H
q (Ω
p
P (∗X)) =⇒ H
p+q . On a E
m,0
2
= m-formes ferm´ ees modulo formes exactes
et utilisant la fl` eche naturelle E
m,0
2
→ H
m on regarde une m-forme ferm´ ee comme
un repr´ esentant d’une classe de cohomologie sur P X. On v´ erifie facilement que
∂ : H
m (P X, Q) → H
m−1 (X, Q)
est la transpos´ ee de l’application “tube” :
τ : H m−1 (X, Q)
∼ =
− − → H m+1 (T, T X, Q)
∂
− − → H m (T X, Q) → H m (P X, Q).
(Intuitivement, l’application en homologie associe ` a un cycle le tube au dessus
de ce cycle dans le compl´ ement de X en P ). Ensuite, pour γ ∈ H m (X, Z),
ω ∈ H
m+1 (P X, C) on a (‘formule du r´ esidu’) :
(tube)
γ
res(ω) =
1
2πi
τ (γ)
ω