8. Cohomologie d’une hypersurface
225
Ceci montre i) et la majeure partie de ii). Il reste ` a v´ erifier que H
0 (Ω
• (∗)) = C P
et H
1 (Ω
• (∗)) = C X . La premi` ere assertion est imm´ ediate. On montre la derni` ere
assertion par un calcul local analogue au pr´ ec´ edent que nous omettons.
On a besoin du sous-complexe Ω
•
P (log X) de Ω
• (∗) form´ e par les formes diff´ erentielles ayant des pˆ oles logarithmiques le long de X ([Ill, §7]). On va prouver
qu’il est quasi-isomorphe au complexe plein (et donc aussi calcule les groupes de
cohomologie de P X). Dans le cas actuel on pourra prendre comme d´ efinition
(loc. cit.) :
Ω
p
P (log X) :=
ω ∈ Ω
p
P (1)| dω ∈ Ω
p+1
P (1)}.
L’application r´ esidu
res : Ω
p
P (log X) → Ω
p−1
X
est d´ efinie comme pr´ ec´ edemment. Localement, on utilise un choix de coordonn´ ees
{f, z 1 , . . . , z n } telles que X soit donn´ ee par f = 0, on ´ ecrit α = d log f ∧ β et
on pose res(α) = β| X . On v´ erifie que cette d´ efinition en effet ne d´ epend pas du
choix des coordonn´ ees et de l’´ equation locale, f = 0 de X. Donc cette application
est bien d´ efinie. La fl` eche qu’on vient de d´ efinir apparaˆ ıt dans une suite exacte de
complexes :
(res)
0 → Ω
•
P → Ω
•
P (log X)
res
− −− → Ω
•
X [−1] → 0.
Cette suite exacte montre par exemple que
H
0 (Ω
• (log X)) = C Y = H
0 (Ω
• (∗X)),
H
1 (Ω
• (log X)) = C X = H
1 (Ω
• (∗X)),
H
q (Ω
• (log X)) = 0 = H
q (Ω
• (∗X)) pour q 2,
et donc Ω
•
P (log X) et Ω
•
P (∗) sont quasi-isomorphes :
H
p (P, Ω
•
P (∗)) = H
p (Ω
•
P (log X)) := H
p
La suite exacte longue en hypercohomologie donne
· · · − −− → H
m−2 (X, C)
∂
− − → H
m (P, C) → H
m Res
− −−− → H
m−1 (X, C)
∂
m
− −− → H
m+1 (P, C) → · · ·
o` u Res = res
∗ est induite par l’application “r´ esidu”. On va montrer que cette suite
“est” la suite de Gysin.
D’abord il faut relier ∂
m et i ∗ . Un calcul en coordonn´ ees locales qu’on n´ eglige
montre que :
(gys)
∂
m : H
m−1 (X, C) → H
m+1 (P, C)