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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
quand on globalise avec des partitions d’unit´ e). Apr` es n − p ´ etapes on arrive ` a une
forme ferm´ ee de type (n + 1, 0) + · · · + (p + 1, n − p) ayant un pˆ ole d’ordre 1.
Prenant son r´ esidu on trouve une forme C
∞ sur X de type (n, 0)+· · ·+(p, n−p) qui
est ferm´ ee. Cette forme r´ epresente une classe dans F
p H
n (X, C). On peut v´ erifier
que cette construction est bien d´ efinie au niveau des classes de cohomologie et que
la fl` eche :
Γ(Ω
n+1
P (n − p + 1)/dΓ(Ω
n
P (n − p)) → F
p H
n (X, C)
est injective et s’envoie surjectivement sur la partie primitive, au moins dans des
cas favorables comme P = P
n+1 . On va donner une autre d´ emonstration de cette
identification qui reste dans le cadre de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique.
On a d’abord besoin du lemme de Poincar´ e dans le cadre des formes avec
pˆ oles :
8.4. Lemme.
i) On suppose p 1. Le complexe (commen¸ cant en degr´ e p) :
P
p
P :=
Ω
p
P (1)
d
− − → Ω
p+1
P (2)
d
− − → · · · Ω
n+1
P (n − p + 2) → 0
est exact et donne donc une r´ esolution de Z
p
P (1). Par cons´ equent
H
q (M, Z
p (1)) = H
p+q (M, P
p
P ).
ii) Les groupes H
q (Ω
• (∗)) de cohomologie du complexe
Ω
• (∗) = {O P (∗) → Ω
1 (∗) → Ω
2 (∗) → . . .}
sont nuls pour q 2 tandis que H
0 (Ω
• (∗)) = C P et H
1 (Ω
• (∗)) = C X .
Preuve. Le complexe Ω
•
P (∗) co¨ ıncide avec Ω
•
P hors de X et alors est exacte au dessus
de P X. Prenons un point x ∈ X et un syst` eme de coordonn´ ees f, x 1 , . . . , x n
centr´ e en x tel que X soit donn´ ee par f = 0. Soit α ∈ Ω
p
P (k) avec k 2. Dans les
coordonn´ ees choisies on ´ ecrit localement
α =
df ∧ β + γ
f k
, β, γ holomorphe et sans df
Le calcul central montre que α ∈ Ω
p (1) modulo dΩ
p−1 (k − 1). Un tel ´ el´ ement
s’´ ecrit
α =
df ∧ β
f
+ γ, β, γ holomorphes et sans df.
La condition dα = 0 implique que dβ = 0, dγ = 0. En utilisant le lemme de
Poincar´ e, on peut alors ´ ecrire β = dσ, γ = dτ et donc
dα = d
σ
f
+ dτ.
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
quand on globalise avec des partitions d’unit´ e). Apr` es n − p ´ etapes on arrive ` a une
forme ferm´ ee de type (n + 1, 0) + · · · + (p + 1, n − p) ayant un pˆ ole d’ordre 1.
Prenant son r´ esidu on trouve une forme C
∞ sur X de type (n, 0)+· · ·+(p, n−p) qui
est ferm´ ee. Cette forme r´ epresente une classe dans F
p H
n (X, C). On peut v´ erifier
que cette construction est bien d´ efinie au niveau des classes de cohomologie et que
la fl` eche :
Γ(Ω
n+1
P (n − p + 1)/dΓ(Ω
n
P (n − p)) → F
p H
n (X, C)
est injective et s’envoie surjectivement sur la partie primitive, au moins dans des
cas favorables comme P = P
n+1 . On va donner une autre d´ emonstration de cette
identification qui reste dans le cadre de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique.
On a d’abord besoin du lemme de Poincar´ e dans le cadre des formes avec
pˆ oles :
8.4. Lemme.
i) On suppose p 1. Le complexe (commen¸ cant en degr´ e p) :
P
p
P :=
Ω
p
P (1)
d
− − → Ω
p+1
P (2)
d
− − → · · · Ω
n+1
P (n − p + 2) → 0
est exact et donne donc une r´ esolution de Z
p
P (1). Par cons´ equent
H
q (M, Z
p (1)) = H
p+q (M, P
p
P ).
ii) Les groupes H
q (Ω
• (∗)) de cohomologie du complexe
Ω
• (∗) = {O P (∗) → Ω
1 (∗) → Ω
2 (∗) → . . .}
sont nuls pour q 2 tandis que H
0 (Ω
• (∗)) = C P et H
1 (Ω
• (∗)) = C X .
Preuve. Le complexe Ω
•
P (∗) co¨ ıncide avec Ω
•
P hors de X et alors est exacte au dessus
de P X. Prenons un point x ∈ X et un syst` eme de coordonn´ ees f, x 1 , . . . , x n
centr´ e en x tel que X soit donn´ ee par f = 0. Soit α ∈ Ω
p
P (k) avec k 2. Dans les
coordonn´ ees choisies on ´ ecrit localement
α =
df ∧ β + γ
f k
, β, γ holomorphe et sans df
Le calcul central montre que α ∈ Ω
p (1) modulo dΩ
p−1 (k − 1). Un tel ´ el´ ement
s’´ ecrit
α =
df ∧ β
f
+ γ, β, γ holomorphes et sans df.
La condition dα = 0 implique que dβ = 0, dγ = 0. En utilisant le lemme de
Poincar´ e, on peut alors ´ ecrire β = dσ, γ = dτ et donc
dα = d
σ
f
+ dτ.