8. Cohomologie d’une hypersurface
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Il suffit donc de calculer la partie “pertinente” de la cohomologie de P X.
Ce calcul se fait en utilisant des complexes de formes rationnelles ayant seulement
des pˆ oles le long de X.
Rappelons d’abord le lemme de Poincar´ e holomorphe (voir le §1) :
∀p 1, dα = 0, α ∈ Ω
p
P
=⇒ α = dβ, β ∈ Ω
p−1
P .
Cette assertion est ´ equivalente ` a l’exactitude du complexe Ω
•
P . Ce complexe donne
une r´ esolution du faisceau constant C X . Le groupe d’hypercohomologie H
m (Ω
•
P )
est donc ´ egal ` a H
m (P, C). De mani` ere analogue Ω
•
P X calcule la cohomologie de
P X.
On passera aux formes ayant des pˆ oles et on pose :
Ω
p
P (k) := Ω
p
P ⊗ O P O P (kX) (faisceau de p-formes m´ eromorphes
ayant au plus un pˆ ole d’ordre k le long de X)
Z
p
P (k) : = {ω ∈ Ω
p
P (k)| dω = 0}
Ω
p
P (∗) : = faisceau de p-formes m´ eromorphes
ayant des pˆ oles seulement le long de X.
L’observation simple mais n´ eanmoins centrale est :
8.3. Calcul. Soit α ∈ Z
p
P (k), k 2. Alors, si f = 0 est une ´ equation locale de X,
on a :
α =
df ∧ β
f k +
γ
f k−1 ,
avec β, γ holomorphes sans df
= −
1
k − 1
d
β
f k−1
+
γ +
1
k−1 dβ
f k−1 .
En d’autre termes, si l’ordre du pˆ ole est 2 on peut, localement, baisser l’ordre
modulo des formes exactes.
Finalement, on arrive ` a une d´ ecomposition
α = β ∧
df
f
+ γ,
avec β et γ holomorphes. Le r´ esidu de α est la forme res(α) = β|X, d´ efinissant
une fl` eche
res : Z
p
P (1) → Ω
p−1
X .
L’id´ ee est d’utiliser ces calculs en cohomologie de De Rham, utilisant des formes
C
∞ et des partitions de l’unit´ e pour globaliser. On commence par une forme
rationnelle sur P de type (n + 1, 0) et avec au plus un pˆ ole le long de X d’ordre
disons n + 1 − p. On la regarde comme forme C
∞ sur P X et on baisse l’ordre
du pˆ ole utilisant le calcul pr´ ec´ edent. On obtient une forme C
∞ ferm´ ee de type
(n + 1, 0) + (n, 1) ` a cause de dβ (β et γ ne restent pas n´ ecessairement holomorphes
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Il suffit donc de calculer la partie “pertinente” de la cohomologie de P X.
Ce calcul se fait en utilisant des complexes de formes rationnelles ayant seulement
des pˆ oles le long de X.
Rappelons d’abord le lemme de Poincar´ e holomorphe (voir le §1) :
∀p 1, dα = 0, α ∈ Ω
p
P
=⇒ α = dβ, β ∈ Ω
p−1
P .
Cette assertion est ´ equivalente ` a l’exactitude du complexe Ω
•
P . Ce complexe donne
une r´ esolution du faisceau constant C X . Le groupe d’hypercohomologie H
m (Ω
•
P )
est donc ´ egal ` a H
m (P, C). De mani` ere analogue Ω
•
P X calcule la cohomologie de
P X.
On passera aux formes ayant des pˆ oles et on pose :
Ω
p
P (k) := Ω
p
P ⊗ O P O P (kX) (faisceau de p-formes m´ eromorphes
ayant au plus un pˆ ole d’ordre k le long de X)
Z
p
P (k) : = {ω ∈ Ω
p
P (k)| dω = 0}
Ω
p
P (∗) : = faisceau de p-formes m´ eromorphes
ayant des pˆ oles seulement le long de X.
L’observation simple mais n´ eanmoins centrale est :
8.3. Calcul. Soit α ∈ Z
p
P (k), k 2. Alors, si f = 0 est une ´ equation locale de X,
on a :
α =
df ∧ β
f k +
γ
f k−1 ,
avec β, γ holomorphes sans df
= −
1
k − 1
d
β
f k−1
+
γ +
1
k−1 dβ
f k−1 .
En d’autre termes, si l’ordre du pˆ ole est 2 on peut, localement, baisser l’ordre
modulo des formes exactes.
Finalement, on arrive ` a une d´ ecomposition
α = β ∧
df
f
+ γ,
avec β et γ holomorphes. Le r´ esidu de α est la forme res(α) = β|X, d´ efinissant
une fl` eche
res : Z
p
P (1) → Ω
p−1
X .
L’id´ ee est d’utiliser ces calculs en cohomologie de De Rham, utilisant des formes
C
∞ et des partitions de l’unit´ e pour globaliser. On commence par une forme
rationnelle sur P de type (n + 1, 0) et avec au plus un pˆ ole le long de X d’ordre
disons n + 1 − p. On la regarde comme forme C
∞ sur P X et on baisse l’ordre
du pˆ ole utilisant le calcul pr´ ec´ edent. On obtient une forme C
∞ ferm´ ee de type
(n + 1, 0) + (n, 1) ` a cause de dβ (β et γ ne restent pas n´ ecessairement holomorphes