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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
8. Cohomologie d’une hypersurface
On consid` ere d’abord une vari´ et´ e projective lisse P de dimension n + 1 et une hypersurface
X ⊂ P lisse. Nous voulons relier les groupes de cohomologie de P X et les groupes de
cohomologie primitive de X. Ensuite on applique cette construction `
a P n+1 o` u on utilise les
formes rationnelles ayant des pˆ oles le long de X. Cela donne la description de Griffiths ([Grif2]
de la cohomologie primitive d’une hypersurface. Cette description a ´ et´ e g´ en´ eralis´ ee par Dimca
[Dim] et par d’autres au cas d’une intersection compl` ete.
8.A. Cohomologie du compl´ ementaire
Rappelons d’abord le th´ eor` eme de Lefschetz “faible” qui implique que la
cohomologie X diff` ere de celle de P seulement en rang n :
8.1. Th´ eor` eme (Lefschetz). Soit X tr` es ample et soit i : X → P l’injection.
On a :
i
∗ : H
m (P, C) → H
m (X, C) est
un isomorphisme si m n − 1
injectif si
m = n
On aura besoin de la cons´ equence suivante :
8.2. Corollaire. Soit X un diviseur tr` es ample. Soit
i ∗ : H
n (X, C) → H
n+2 (P, C)
l’adjoint de i
∗ : H
n (P, C) → H
n (X, C) par rapport au cup-produit. Alors i ∗ est
surjectif et le noyau est contenu dans la cohomologie primitive Prim
n (X, C) et on
a ker i ∗ = Prim
n (X, C) si Prim
n (P, C) = 0.
Preuve. La premi` ere assertion est ´ evidente. Le noyau consiste en les classes [α]
telles que
P
∂
n α ∧ β =
P
α ∧ i
∗ β = 0 quel que soit [β] ∈ H
n (P, C). En particulier
on peut prendre [β] de la forme (classe de K¨ ahler ω) ∧ i
∗ (classe d’une n − 2-forme
sur P ). Mais i
∗ : H
n−2 (P, C) → H
n−2 (X, P ) est un isomorphisme (th´ eor` eme de
Lefschetz de nouveau) et donc [α] ∧ ω = 0, c’est-` a-dire [α] est primitive.
L’application i ∗ apparaˆ ıt dans la suite exacte de Gysin :
· · · → H
m−2 (X, Z)
i ∗
− − → H
m (P, Z) → H
m (P X, Z)
∂
− − → H
m−1 (X, Z)
i ∗
− − → H
m+1 (P, Z) · · · ,
obtenue comme suit. Soit T ⊂ P un voisinage tubulaire de X dans P . Comme
X est un r´ etracte de T on a un isomorphisme H
k (T, Z) − → H
k (X, Z) tandis que
H
k (T, T X, Z est isomoprhe ` a H
k−2 (X, Z) (‘isomorphisme de Thom’). Aussi,
l’inclusion (T, T X) → (P, P X) est une excision et donc H
k (P, P X, Z) est
isomorphe ` a H
k (T, T X, Z). La suite longue du couple (P, P X) donne alors
la suite de Gysin.
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
8. Cohomologie d’une hypersurface
On consid` ere d’abord une vari´ et´ e projective lisse P de dimension n + 1 et une hypersurface
X ⊂ P lisse. Nous voulons relier les groupes de cohomologie de P X et les groupes de
cohomologie primitive de X. Ensuite on applique cette construction `
a P n+1 o` u on utilise les
formes rationnelles ayant des pˆ oles le long de X. Cela donne la description de Griffiths ([Grif2]
de la cohomologie primitive d’une hypersurface. Cette description a ´ et´ e g´ en´ eralis´ ee par Dimca
[Dim] et par d’autres au cas d’une intersection compl` ete.
8.A. Cohomologie du compl´ ementaire
Rappelons d’abord le th´ eor` eme de Lefschetz “faible” qui implique que la
cohomologie X diff` ere de celle de P seulement en rang n :
8.1. Th´ eor` eme (Lefschetz). Soit X tr` es ample et soit i : X → P l’injection.
On a :
i
∗ : H
m (P, C) → H
m (X, C) est
un isomorphisme si m n − 1
injectif si
m = n
On aura besoin de la cons´ equence suivante :
8.2. Corollaire. Soit X un diviseur tr` es ample. Soit
i ∗ : H
n (X, C) → H
n+2 (P, C)
l’adjoint de i
∗ : H
n (P, C) → H
n (X, C) par rapport au cup-produit. Alors i ∗ est
surjectif et le noyau est contenu dans la cohomologie primitive Prim
n (X, C) et on
a ker i ∗ = Prim
n (X, C) si Prim
n (P, C) = 0.
Preuve. La premi` ere assertion est ´ evidente. Le noyau consiste en les classes [α]
telles que
P
∂
n α ∧ β =
P
α ∧ i
∗ β = 0 quel que soit [β] ∈ H
n (P, C). En particulier
on peut prendre [β] de la forme (classe de K¨ ahler ω) ∧ i
∗ (classe d’une n − 2-forme
sur P ). Mais i
∗ : H
n−2 (P, C) → H
n−2 (X, P ) est un isomorphisme (th´ eor` eme de
Lefschetz de nouveau) et donc [α] ∧ ω = 0, c’est-` a-dire [α] est primitive.
L’application i ∗ apparaˆ ıt dans la suite exacte de Gysin :
· · · → H
m−2 (X, Z)
i ∗
− − → H
m (P, Z) → H
m (P X, Z)
∂
− − → H
m−1 (X, Z)
i ∗
− − → H
m+1 (P, Z) · · · ,
obtenue comme suit. Soit T ⊂ P un voisinage tubulaire de X dans P . Comme
X est un r´ etracte de T on a un isomorphisme H
k (T, Z) − → H
k (X, Z) tandis que
H
k (T, T X, Z est isomoprhe ` a H
k−2 (X, Z) (‘isomorphisme de Thom’). Aussi,
l’inclusion (T, T X) → (P, P X) est une excision et donc H
k (P, P X, Z) est
isomorphe ` a H
k (T, T X, Z). La suite longue du couple (P, P X) donne alors
la suite de Gysin.