7. Introduction `
a la sym´ etrie miroir
221
Indication sur la preuve : Elle est bas´ ee sur une r´ einterpr´ etation de l’application
des p´ eriodes q comme une immersion de Legendre. Pour ˆ etre pr´ ecis, une vari´ et´ e de
contact est une paire (M, L) avec M une vari´ et´ e complexe de dimension impaire
2m + 1 et L ⊂ Ω
1 un sous fibr´ e en droites du fibr´ e cotangent qui est non-d´ eg´ en´ er´ e,
ce qui veut dire que pour toute section locale ω = 0 de L,
ω ∧ (dω)
m = 0.
Une vari´ et´ e de Legendre associ´ ee ` a (M, L) est une immersion f : S → M avec
dim S = m telle que f
∗ ω = 0 pour toute section locale ω de L.
Si H = H
3 (X, C), la forme d’intersection sur H d´ efinit une structure de
contact sur P(H) (X est une vari´ et´ e de Calabi-Yau de dimension 3, et m = h
2,1 ).
En fait, on peut supposer qu’on a choisi une base symplectique de H. Soit
{p 1 , . . . , p m+1 , q 1 , . . . , q m+1 } le syst` eme de coordonn´ ees correspondant. Il suffit
de sp´ ecifier une 1-forme ω sur les ouverts standards de P(H), disons sur U i =
{p i = 0} :
ω i = −dq i +
j =i
(q j dp j − p j dq j ).
On v´ erifie facilement que ω i est une base locale sur U i d’un sous-faisceau de Ω
1
P(H)
de rang un, localement libre et isomorphe ` a O(−2) (comparer ω j et ω k sur U j ∩U k ).
On a clairement ω ∧ (dω)
m = 0 et donc on obtient une structure de contact sur
P(H).
Il s’agit de prouver que l’application des p´ eriodes est une immersion de
Legendre. C’est d’abord une immersion (diff´ erentielle injective en tout point),
par le fait que la diff´ erentielle dq, c’est-` a-dire δ (§3.C) est injective. Le lecteur
le v´ erifiera facilement en tenant compte de la trivialit´ e de la classe canonique.
La propri´ et´ e de Legendre est une reformulation des propri´ et´ es infinit´ esimales
de l’application des p´ eriodes d´ evelopp´ ees au §3.C (se reporter au §10.A). Pour
conclure on utilise les th´ eor` emes de structure des vari´ et´ es de contact d´ etaill´ es dans
[B-G].
La diff´ erentielle dq ´ etant injective, les d´ eriv´ ees ∂q/∂ζ i , i = 0, . . . , b sont
ind´ ependantes, et donc les ∇ ∂
∂ζ i
ω(s) ∈ F
2 (X s ) forment une base.
On peut maintenant explicitement d´ ecrire l’application des p´ eriodes p : S →
D(b) comme donn´ ee par la matrice
̟ =
γ k
∂ω(s)
∂ζ i
,
δ k
∂ω(s)
∂ζ i
,
matrice de type (b + 1) × (2b + 2) qui d´ ecrit la position de F
2 (X s ) dans H
3 (X s ).
De la relation (per) ci-dessus on tire que ̟ = [1l, τ ], avec τ ij sym´ etrique. Du fait
que la forme −iω ∧ ¯
ω ainsi que les formes iα ∧ ¯
α pour α ∈ H
2,1 sont positives, on
obtient que Im τ est de signature (1, b). On peut aussi contrˆ oler qu’un changement
de base symplectique transforme τ en :
τ
′ = (Aτ + B)(Cτ + D)
−1 ,
A B
C D
∈ Sp(2b + 2, Z)
comme dans le demi-espace de Siegel (§3.B).
a la sym´ etrie miroir
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Indication sur la preuve : Elle est bas´ ee sur une r´ einterpr´ etation de l’application
des p´ eriodes q comme une immersion de Legendre. Pour ˆ etre pr´ ecis, une vari´ et´ e de
contact est une paire (M, L) avec M une vari´ et´ e complexe de dimension impaire
2m + 1 et L ⊂ Ω
1 un sous fibr´ e en droites du fibr´ e cotangent qui est non-d´ eg´ en´ er´ e,
ce qui veut dire que pour toute section locale ω = 0 de L,
ω ∧ (dω)
m = 0.
Une vari´ et´ e de Legendre associ´ ee ` a (M, L) est une immersion f : S → M avec
dim S = m telle que f
∗ ω = 0 pour toute section locale ω de L.
Si H = H
3 (X, C), la forme d’intersection sur H d´ efinit une structure de
contact sur P(H) (X est une vari´ et´ e de Calabi-Yau de dimension 3, et m = h
2,1 ).
En fait, on peut supposer qu’on a choisi une base symplectique de H. Soit
{p 1 , . . . , p m+1 , q 1 , . . . , q m+1 } le syst` eme de coordonn´ ees correspondant. Il suffit
de sp´ ecifier une 1-forme ω sur les ouverts standards de P(H), disons sur U i =
{p i = 0} :
ω i = −dq i +
j =i
(q j dp j − p j dq j ).
On v´ erifie facilement que ω i est une base locale sur U i d’un sous-faisceau de Ω
1
P(H)
de rang un, localement libre et isomorphe ` a O(−2) (comparer ω j et ω k sur U j ∩U k ).
On a clairement ω ∧ (dω)
m = 0 et donc on obtient une structure de contact sur
P(H).
Il s’agit de prouver que l’application des p´ eriodes est une immersion de
Legendre. C’est d’abord une immersion (diff´ erentielle injective en tout point),
par le fait que la diff´ erentielle dq, c’est-` a-dire δ (§3.C) est injective. Le lecteur
le v´ erifiera facilement en tenant compte de la trivialit´ e de la classe canonique.
La propri´ et´ e de Legendre est une reformulation des propri´ et´ es infinit´ esimales
de l’application des p´ eriodes d´ evelopp´ ees au §3.C (se reporter au §10.A). Pour
conclure on utilise les th´ eor` emes de structure des vari´ et´ es de contact d´ etaill´ es dans
[B-G].
La diff´ erentielle dq ´ etant injective, les d´ eriv´ ees ∂q/∂ζ i , i = 0, . . . , b sont
ind´ ependantes, et donc les ∇ ∂
∂ζ i
ω(s) ∈ F
2 (X s ) forment une base.
On peut maintenant explicitement d´ ecrire l’application des p´ eriodes p : S →
D(b) comme donn´ ee par la matrice
̟ =
γ k
∂ω(s)
∂ζ i
,
δ k
∂ω(s)
∂ζ i
,
matrice de type (b + 1) × (2b + 2) qui d´ ecrit la position de F
2 (X s ) dans H
3 (X s ).
De la relation (per) ci-dessus on tire que ̟ = [1l, τ ], avec τ ij sym´ etrique. Du fait
que la forme −iω ∧ ¯
ω ainsi que les formes iα ∧ ¯
α pour α ∈ H
2,1 sont positives, on
obtient que Im τ est de signature (1, b). On peut aussi contrˆ oler qu’un changement
de base symplectique transforme τ en :
τ
′ = (Aτ + B)(Cτ + D)
−1 ,
A B
C D
∈ Sp(2b + 2, Z)
comme dans le demi-espace de Siegel (§3.B).