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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
pour les structures de Hodge de ce type est de la forme D(b) = Sp(2b+2, R)/U (1)×
U (b). C’est un domaine de dimension
1
2
(b + 1)(b + 2).
Dans le §3.C on a bri` evement trait´ e les d´ eformations et on a vu qu’on ne peut
pas attendre en g´ en´ eral qu’il existe une d´ eformation verselle avec une base nonsinguli` ere. Mais pour les vari´ et´ es de Calabi-Yau c’est effectivement le cas comme
le montre le th´ eor` eme de Tian, Todorov et Bogomolov (voir [T]) :
7.2. Th´ eor` eme. Une vari´ et´ e de Calabi-Yau poss` ede une d´ eformation locale
universelle de base S lisse.
[Il suffit que la vari´ et´ e soit k¨ ahl´ erienne avec une premi` ere classe de Chern nulle.]
Donc ici h
2,1 est r´ eellement le nombre de param` etres effectifs pour d´ ecrire les
variations de la structure complexe [C-O].
On suppose maintenant que la base S est simplement connexe. Alors l’application de p´ eriodes est une application holomorphe p : S → D(b). Elle se factorise en
q : S → P
2b+1 , ou P
2b+1 est l’espace projectif des droites H
3,0 (X s ) ⊂ H
3 (X s , C)
car p d´ ecrit la position de H
3,0 (X s ) ⊕ H
2,1 (X s ) dans le groupe de cohomologie
H
3 (X s ) tandis que q d´ ecrit la position de H
3,0 (X s ).
Maintenant nous voulons expliquer le th´ eor` eme de Bryant et Griffiths de [BG]. On peut trivialiser localement le syst` eme local {H 3 (X s , Z)}, au moyen d’une
base symplectique, donc une base de 3 cycles {γ i , δ j } i,j=0, ... ,b , avec relativement
au produit d’intersection :
(γ i , δ j ) = δ ij et (γ i , γ j ) = (δ i , δ j ) = 0.
La base Poincar´ e duale {α i , β j ) i,j=0, ... ,b fournit une trivialisation du syst` eme local
R
3 f ∗ (Z). Soit ω une section locale de F
3 = f ∗ (ω
3
X/S ) qui trivialise ce fibr´ e. On
consid` ere les p´ eriodes de ω :
ζ i (s) =
γ i
ω(s),
ξ j (s) =
δ j
ω(s)
c’est-` a-dire :
(per)
ω =
i
ζ i α i +
j
ξ j β j .
L’application des p´ eriodes “partielle” q : S → P
2b+1 se d´ ecrit comme
s → (ζ 0 (s), . . . , ζ b (s), ξ 0 (s), . . . , ξ b (s))
et on peut regarder “la moiti´ e” q
′ : S → P
b donn´ ee par les γ-p´ eriodes s →
(ζ 0 (s), . . . , ζ b (s))
7.3. Th´ eor` eme (Bryant-Griffiths). L’application q
′ est une immersion de sorte
que les γ-p´ eriodes (ζ 0 , . . . , ζ b ) servent comme param` etres “homog` enes” sur S et
les δ-p´ eriodes ξ b sont des fonctions holomorphes de ζ 0 , . . . , ζ b .
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
pour les structures de Hodge de ce type est de la forme D(b) = Sp(2b+2, R)/U (1)×
U (b). C’est un domaine de dimension
1
2
(b + 1)(b + 2).
Dans le §3.C on a bri` evement trait´ e les d´ eformations et on a vu qu’on ne peut
pas attendre en g´ en´ eral qu’il existe une d´ eformation verselle avec une base nonsinguli` ere. Mais pour les vari´ et´ es de Calabi-Yau c’est effectivement le cas comme
le montre le th´ eor` eme de Tian, Todorov et Bogomolov (voir [T]) :
7.2. Th´ eor` eme. Une vari´ et´ e de Calabi-Yau poss` ede une d´ eformation locale
universelle de base S lisse.
[Il suffit que la vari´ et´ e soit k¨ ahl´ erienne avec une premi` ere classe de Chern nulle.]
Donc ici h
2,1 est r´ eellement le nombre de param` etres effectifs pour d´ ecrire les
variations de la structure complexe [C-O].
On suppose maintenant que la base S est simplement connexe. Alors l’application de p´ eriodes est une application holomorphe p : S → D(b). Elle se factorise en
q : S → P
2b+1 , ou P
2b+1 est l’espace projectif des droites H
3,0 (X s ) ⊂ H
3 (X s , C)
car p d´ ecrit la position de H
3,0 (X s ) ⊕ H
2,1 (X s ) dans le groupe de cohomologie
H
3 (X s ) tandis que q d´ ecrit la position de H
3,0 (X s ).
Maintenant nous voulons expliquer le th´ eor` eme de Bryant et Griffiths de [BG]. On peut trivialiser localement le syst` eme local {H 3 (X s , Z)}, au moyen d’une
base symplectique, donc une base de 3 cycles {γ i , δ j } i,j=0, ... ,b , avec relativement
au produit d’intersection :
(γ i , δ j ) = δ ij et (γ i , γ j ) = (δ i , δ j ) = 0.
La base Poincar´ e duale {α i , β j ) i,j=0, ... ,b fournit une trivialisation du syst` eme local
R
3 f ∗ (Z). Soit ω une section locale de F
3 = f ∗ (ω
3
X/S ) qui trivialise ce fibr´ e. On
consid` ere les p´ eriodes de ω :
ζ i (s) =
γ i
ω(s),
ξ j (s) =
δ j
ω(s)
c’est-` a-dire :
(per)
ω =
i
ζ i α i +
j
ξ j β j .
L’application des p´ eriodes “partielle” q : S → P
2b+1 se d´ ecrit comme
s → (ζ 0 (s), . . . , ζ b (s), ξ 0 (s), . . . , ξ b (s))
et on peut regarder “la moiti´ e” q
′ : S → P
b donn´ ee par les γ-p´ eriodes s →
(ζ 0 (s), . . . , ζ b (s))
7.3. Th´ eor` eme (Bryant-Griffiths). L’application q
′ est une immersion de sorte
que les γ-p´ eriodes (ζ 0 , . . . , ζ b ) servent comme param` etres “homog` enes” sur S et
les δ-p´ eriodes ξ b sont des fonctions holomorphes de ζ 0 , . . . , ζ b .