7. Introduction `
a la sym´ etrie miroir
219
hypersurface de degr´ e d est le lieu des z´ eros d’un polynˆ ome quasi-homog` ene
P (z) =
i 1 k 1 +···i r+1 k r+1 =d
c i 1 ···i r+1 z
i 1
1 · · · z
i r+1
r+1 . Si {P = dP = 0} entraˆ ıne z = 0 dans
C
r+1 on dit que P est transverse. Un tel polynˆ ome d´ efinit un hypersurface lisse et
si d =
k i conduit ` a une hypersurface de Calabi-Yau ; on supposera r = 4, pour
obtenir une hypersurface de dimension 3. L’exp´ erience montre que dans la liste
des poids {k i } tels qu’il existe un polynˆ ome quasi-homog` ene transverse de degr´ e
d =
k i , la distribution des nombres de Hodge (h
1,1 , h
2,1 ) est essentiellement
sym´ etrique, c’est-` a-dire que dans 90% des cas, la paire (h
2,1 , h
1,1 ) apparaˆ ıt.
La meilleure fa¸ con d’expliquer l’absence de sym´ etrie compl` ete est d’invoquer la
construction de la sym´ etrie miroir par des m´ ethodes toriques propos´ ee par Batyrev
[Ba]. Bri` evement la dualit´ e na¨ ıve X ↔ X
∗ co¨ ıncide dans les construction cidessus avec la dualit´ e combinatoire des poly` edres convexes qui ont la propri´ et´ e
de reflexivit´ e (loc. cit.), le poly` edre ´ etant le poly` edre de Newton du polynˆ ome
P . Il y a alors des formules pour obtenir de mani` ere purement combinatoire les
nombres de Hodge. L’exemple de l’hypersurface quintique peut ˆ etre trait´ e par par
ce proc´ ed´ e (voir le §10).
Le lecteur consultera l’article [H-K-S-Y] pour une discussion d´ etaill´ ee sur l’utilisation des m´ ethodes toriques.
7.C. D´ eformations
Les nombres de Hodge d’une vari´ et´ e de Calabi-Yau sont :
1
0
0
0
h
1,1
0
1
h
2,1
h
1,2
1
0
h
1,1
0
0
0
1
On a h
2,1 = dim H
1 (Ω
1
X ) = dim H
1 (X, T X ) car T X = T X ⊗ Ω
3
X
∼ = Ω
1
X . Dans le
paragraphe 3.C. (voir 3.8) on a vu que ce nombre donne le nombre de param` etres
pour la structure complexe, s’il existe une d´ eformation verselle (avec une base
non-singuli` ere).
On s’int´ eresse ` a la structure de Hodge sur H
3 (X, R) polaris´ ee par la forme
d’intersection (altern´ ee et unimodulaire). On a
H
3 (X, C) = H
3,0 ⊕ H
2,1 ⊕ H
1,2 ⊕ H
0,3
et
F
3 = H
3,0 , F
2 = H
3,0 ⊕ H
2,1 , F
1 = H
3,0 ⊕ H
2,1 ⊕ H
1,2 .
Posons b = h
2,1 . Alors F
2 est un sous-espace totalement isotrope de H
3 (X, C),
pour la forme altern´ ee Q (cup-produit), et F
1 = (F
3 )
⊥ . Le domaine des p´ eriodes
a la sym´ etrie miroir
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hypersurface de degr´ e d est le lieu des z´ eros d’un polynˆ ome quasi-homog` ene
P (z) =
i 1 k 1 +···i r+1 k r+1 =d
c i 1 ···i r+1 z
i 1
1 · · · z
i r+1
r+1 . Si {P = dP = 0} entraˆ ıne z = 0 dans
C
r+1 on dit que P est transverse. Un tel polynˆ ome d´ efinit un hypersurface lisse et
si d =
k i conduit ` a une hypersurface de Calabi-Yau ; on supposera r = 4, pour
obtenir une hypersurface de dimension 3. L’exp´ erience montre que dans la liste
des poids {k i } tels qu’il existe un polynˆ ome quasi-homog` ene transverse de degr´ e
d =
k i , la distribution des nombres de Hodge (h
1,1 , h
2,1 ) est essentiellement
sym´ etrique, c’est-` a-dire que dans 90% des cas, la paire (h
2,1 , h
1,1 ) apparaˆ ıt.
La meilleure fa¸ con d’expliquer l’absence de sym´ etrie compl` ete est d’invoquer la
construction de la sym´ etrie miroir par des m´ ethodes toriques propos´ ee par Batyrev
[Ba]. Bri` evement la dualit´ e na¨ ıve X ↔ X
∗ co¨ ıncide dans les construction cidessus avec la dualit´ e combinatoire des poly` edres convexes qui ont la propri´ et´ e
de reflexivit´ e (loc. cit.), le poly` edre ´ etant le poly` edre de Newton du polynˆ ome
P . Il y a alors des formules pour obtenir de mani` ere purement combinatoire les
nombres de Hodge. L’exemple de l’hypersurface quintique peut ˆ etre trait´ e par par
ce proc´ ed´ e (voir le §10).
Le lecteur consultera l’article [H-K-S-Y] pour une discussion d´ etaill´ ee sur l’utilisation des m´ ethodes toriques.
7.C. D´ eformations
Les nombres de Hodge d’une vari´ et´ e de Calabi-Yau sont :
1
0
0
0
h
1,1
0
1
h
2,1
h
1,2
1
0
h
1,1
0
0
0
1
On a h
2,1 = dim H
1 (Ω
1
X ) = dim H
1 (X, T X ) car T X = T X ⊗ Ω
3
X
∼ = Ω
1
X . Dans le
paragraphe 3.C. (voir 3.8) on a vu que ce nombre donne le nombre de param` etres
pour la structure complexe, s’il existe une d´ eformation verselle (avec une base
non-singuli` ere).
On s’int´ eresse ` a la structure de Hodge sur H
3 (X, R) polaris´ ee par la forme
d’intersection (altern´ ee et unimodulaire). On a
H
3 (X, C) = H
3,0 ⊕ H
2,1 ⊕ H
1,2 ⊕ H
0,3
et
F
3 = H
3,0 , F
2 = H
3,0 ⊕ H
2,1 , F
1 = H
3,0 ⊕ H
2,1 ⊕ H
1,2 .
Posons b = h
2,1 . Alors F
2 est un sous-espace totalement isotrope de H
3 (X, C),
pour la forme altern´ ee Q (cup-produit), et F
1 = (F
3 )
⊥ . Le domaine des p´ eriodes