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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
une d´ esingularisation convenable de X/G le caract` ere Calabi-Yau ; c’est la m´ ethode
des orbifolds des physiciens. A ce stade des difficult´ es vari´ ees apparaissent ; elles
sont li´ ees aux singularit´ es qui r´ esultent de l’existence de points fixes, car l’action de
G n’est pas n´ ecessairement libre. Si ˆ
X est une r´ esolution des singularit´ es de X/G,
avec K ˆ
X
∼ = O ˆ
X (on peut prouver qu’une telle r´ esolution existe dans essentiellement
tous les cas [B-M]), se pose le probl` eme du calcul des nombres de Hodge H
p,q ( ˆ
X),
disons ` a partir de ceux de X et des donn´ ees li´ ees ` a l’action de G sur X. Pour la
caract´ eristique d’Euler χ =
(−1)
p+q h
p,q on a la formule de Dixon-Vafa-Witten
χ( ˆ
X) =
1
|G|
gh=hg
χ(X
g ∩ X
h )
o` u la somme porte sur les couples g, h d’´ el´ ements de G qui commutent (gh = hg)
et X
g = {x ∈ X | g(x) = x}, la vari´ et´ e des point fixes de g. Noter que si ˆ
X est le
miroir de X, χ( ˆ
X) = −χ(X).
Assez remarquablement, pour une formule analogue a ´ et´ e propos´ ee par Batyrev
et Zaslow [Za] pour les nombres de Hodge. Cette formule conjecturale est :
h
p,q ( ˆ
X) =
{g}
dim
H
p−f g ,q−f g (X
g )
C(g)
o` u C(g) est le commutant de g dans G, et {g} la classe de conjugaison de g. Pour
d´ efinir l’entier f g on regarde l’action de l’automorphisme g x induit sur l’espace
tangent T x X ` a x ∈ X
g . Du fait que g induit l’identit´ e sur H
3,0 , le d´ eterminant
de g x est 1 et donc, si e
−2πiλ j , 0 < λ j < 1 sont les valeurs propres de g x sur
l’espace T x X/T x X
g normal ` a X
g (ces valeurs sont ind´ ependantes du choix du
point x ∈ X
g ), la somme f g =
j λ j est bien un entier.
Il n’est pas difficile de v´ erifier que la structure du diamant de Hodge d’une
vari´ et´ e de Calabi-Yau est pr´ eserv´ ee et donc que les h
p,q ( ˆ
X) sont sp´ eculativement
les nombres de Hodge d’une vari´ et´ e de Calabi-Yau. Cela a ´ et´ e v´ erifi´ e pour la
construction de la vari´ et´ e miroir par la m´ ethode des poly` edres de Batyrev.
Pour avoir assez d’arguments objectifs validant la distribution des vari´ et´ es de
Calabi-Yau en paires (avec peut-ˆ etre des exceptions), il est n´ ecessaire d’´ elargir le
proc´ ed´ e de construction des vari´ et´ es de Calabi-Yau, car si X est une hypersurface
de P
4 , il y a peu de chances que ˆ
X soit aussi une hypersurface. Naturellement on
est amen´ e ` a remplacer P
n ou P
n 1 × · · · × P
n s dans la construction du d´ ebut par un
espace projectif avec poids, ou un produit de tels espaces. Consid´ erons un espace
projectif avec poids P
r (k 1 , . . . , k s ), qui est la vari´ et´ e alg´ ebrique ayant pour points
les (r + 1)-uples (z 1 , . . . , z r+1 ) ∈ C
r+1 \ {0}, modulo la relation d’´ equivalence
(z 1 , . . . , z r ) ∼ (λ
k 1 z 1 , . . . , λ
k r+1 z r+1 ) (λ ∈ C
∗ ).
On v´ erifie que la construction de l’espace projectif P
r = P
r (1, . . . , 1) se g´ en´ eralise
` a cette situation, qui peut cependant conduire ` a une vari´ et´ e singuli` ere. Une
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
une d´ esingularisation convenable de X/G le caract` ere Calabi-Yau ; c’est la m´ ethode
des orbifolds des physiciens. A ce stade des difficult´ es vari´ ees apparaissent ; elles
sont li´ ees aux singularit´ es qui r´ esultent de l’existence de points fixes, car l’action de
G n’est pas n´ ecessairement libre. Si ˆ
X est une r´ esolution des singularit´ es de X/G,
avec K ˆ
X
∼ = O ˆ
X (on peut prouver qu’une telle r´ esolution existe dans essentiellement
tous les cas [B-M]), se pose le probl` eme du calcul des nombres de Hodge H
p,q ( ˆ
X),
disons ` a partir de ceux de X et des donn´ ees li´ ees ` a l’action de G sur X. Pour la
caract´ eristique d’Euler χ =
(−1)
p+q h
p,q on a la formule de Dixon-Vafa-Witten
χ( ˆ
X) =
1
|G|
gh=hg
χ(X
g ∩ X
h )
o` u la somme porte sur les couples g, h d’´ el´ ements de G qui commutent (gh = hg)
et X
g = {x ∈ X | g(x) = x}, la vari´ et´ e des point fixes de g. Noter que si ˆ
X est le
miroir de X, χ( ˆ
X) = −χ(X).
Assez remarquablement, pour une formule analogue a ´ et´ e propos´ ee par Batyrev
et Zaslow [Za] pour les nombres de Hodge. Cette formule conjecturale est :
h
p,q ( ˆ
X) =
{g}
dim
H
p−f g ,q−f g (X
g )
C(g)
o` u C(g) est le commutant de g dans G, et {g} la classe de conjugaison de g. Pour
d´ efinir l’entier f g on regarde l’action de l’automorphisme g x induit sur l’espace
tangent T x X ` a x ∈ X
g . Du fait que g induit l’identit´ e sur H
3,0 , le d´ eterminant
de g x est 1 et donc, si e
−2πiλ j , 0 < λ j < 1 sont les valeurs propres de g x sur
l’espace T x X/T x X
g normal ` a X
g (ces valeurs sont ind´ ependantes du choix du
point x ∈ X
g ), la somme f g =
j λ j est bien un entier.
Il n’est pas difficile de v´ erifier que la structure du diamant de Hodge d’une
vari´ et´ e de Calabi-Yau est pr´ eserv´ ee et donc que les h
p,q ( ˆ
X) sont sp´ eculativement
les nombres de Hodge d’une vari´ et´ e de Calabi-Yau. Cela a ´ et´ e v´ erifi´ e pour la
construction de la vari´ et´ e miroir par la m´ ethode des poly` edres de Batyrev.
Pour avoir assez d’arguments objectifs validant la distribution des vari´ et´ es de
Calabi-Yau en paires (avec peut-ˆ etre des exceptions), il est n´ ecessaire d’´ elargir le
proc´ ed´ e de construction des vari´ et´ es de Calabi-Yau, car si X est une hypersurface
de P
4 , il y a peu de chances que ˆ
X soit aussi une hypersurface. Naturellement on
est amen´ e ` a remplacer P
n ou P
n 1 × · · · × P
n s dans la construction du d´ ebut par un
espace projectif avec poids, ou un produit de tels espaces. Consid´ erons un espace
projectif avec poids P
r (k 1 , . . . , k s ), qui est la vari´ et´ e alg´ ebrique ayant pour points
les (r + 1)-uples (z 1 , . . . , z r+1 ) ∈ C
r+1 \ {0}, modulo la relation d’´ equivalence
(z 1 , . . . , z r ) ∼ (λ
k 1 z 1 , . . . , λ
k r+1 z r+1 ) (λ ∈ C
∗ ).
On v´ erifie que la construction de l’espace projectif P
r = P
r (1, . . . , 1) se g´ en´ eralise
` a cette situation, qui peut cependant conduire ` a une vari´ et´ e singuli` ere. Une