7. Introduction `
a la sym´ etrie miroir
217
avec N + 1 =
i
d i . Si l’intersection V =
r
i=1
H i est transversale, V est alors lisse,
et la formule d’adjonction montre que K V ∼ = O V , donc V est de Calabi-Yau (on a
ici π 1 (V ) = 0).
Parmi les exemples, on peut prendre pour V une hypersurface de degr´ e 5 dans
P
4 (quintique), une intersection de deux hypersurfaces cubiques de P
5 , de trois
quadriques de P
6 (voir le §10 pour ces exemples).
On peut plus g´ en´ eralement remplacer P
N par un produit P
n 1 × · · · × P
n s ou
toute autre vari´ et´ e, dont le faisceau anticanonique est ample (i.e. : K
−1
V est ample).
Une hypersurface est alors sp´ ecifi´ ee par son ´ equation, i.e. une forme de multidegr´ e
d i = (d 1i , . . . , d si ). On forme ainsi un tableau :
H 1
H r
n 1 d 11 · · · d 1r
n 2 d 21 · · · d 2r
. . .
. . .
. . .
n s d s1 · · · d sr
et V est l’intersection V = H 1 ∩ · · · ∩ H r , avec dim V = 3 si
i n i = r + 3. La
condition K V ∼ = O V ´ equivaut ` a
r
j=1
d ij = n i + 1, (i = 1, . . . , s).
7.1. Exemple. (vari´ et´ e de Tian-Yau)
H 1 H 2 H 3
3 3 0 1
3 0 3 1
On peut prendre pour V l’intersection compl` ete des hypersurfaces
3
i=0
X
3
i = 0,
3
i=0
Y
3
i = 0 et
3
i=0
X i Y i dans P
3 × P
3 , o` u (X i ), (Y i ) sont les coordonn´ ees homog` enes
dans les deux exemplaires de P
3 . Noter que dans cet exemple, la permutation
circulaire des coordonn´ ees, fournit une action libre du groupe G = Z/3Z, et
W = V /G est alors une vari´ et´ e de Calabi-Yau avec pour caract´ eristique d’Euler
−6 (“mod` ele de nombre de g´ en´ eration 3” donc “physiquement acceptable”).
A ce stade, la question principale peut se r´ esumer ` a : quelle construction
g´ eom´ etrique, la vari´ et´ e de Calabi-Yau X ´ etant donn´ ee, va conduire ` a la vari´ et´ e
miroir X
∗ , en fait ` a une “vari´ et´ e candidate”.
Des arguments issus de la physique laissent penser que dans beaucoup de cas,
X
∗ s’obtiendra ` a partir de X en faisant un quotient par un groupe fini G d’automorphismes de X, le groupe G agissant trivialement sur H
3,0 (X), pour assurer ` a
a la sym´ etrie miroir
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avec N + 1 =
i
d i . Si l’intersection V =
r
i=1
H i est transversale, V est alors lisse,
et la formule d’adjonction montre que K V ∼ = O V , donc V est de Calabi-Yau (on a
ici π 1 (V ) = 0).
Parmi les exemples, on peut prendre pour V une hypersurface de degr´ e 5 dans
P
4 (quintique), une intersection de deux hypersurfaces cubiques de P
5 , de trois
quadriques de P
6 (voir le §10 pour ces exemples).
On peut plus g´ en´ eralement remplacer P
N par un produit P
n 1 × · · · × P
n s ou
toute autre vari´ et´ e, dont le faisceau anticanonique est ample (i.e. : K
−1
V est ample).
Une hypersurface est alors sp´ ecifi´ ee par son ´ equation, i.e. une forme de multidegr´ e
d i = (d 1i , . . . , d si ). On forme ainsi un tableau :
H 1
H r
n 1 d 11 · · · d 1r
n 2 d 21 · · · d 2r
. . .
. . .
. . .
n s d s1 · · · d sr
et V est l’intersection V = H 1 ∩ · · · ∩ H r , avec dim V = 3 si
i n i = r + 3. La
condition K V ∼ = O V ´ equivaut ` a
r
j=1
d ij = n i + 1, (i = 1, . . . , s).
7.1. Exemple. (vari´ et´ e de Tian-Yau)
H 1 H 2 H 3
3 3 0 1
3 0 3 1
On peut prendre pour V l’intersection compl` ete des hypersurfaces
3
i=0
X
3
i = 0,
3
i=0
Y
3
i = 0 et
3
i=0
X i Y i dans P
3 × P
3 , o` u (X i ), (Y i ) sont les coordonn´ ees homog` enes
dans les deux exemplaires de P
3 . Noter que dans cet exemple, la permutation
circulaire des coordonn´ ees, fournit une action libre du groupe G = Z/3Z, et
W = V /G est alors une vari´ et´ e de Calabi-Yau avec pour caract´ eristique d’Euler
−6 (“mod` ele de nombre de g´ en´ eration 3” donc “physiquement acceptable”).
A ce stade, la question principale peut se r´ esumer ` a : quelle construction
g´ eom´ etrique, la vari´ et´ e de Calabi-Yau X ´ etant donn´ ee, va conduire ` a la vari´ et´ e
miroir X
∗ , en fait ` a une “vari´ et´ e candidate”.
Des arguments issus de la physique laissent penser que dans beaucoup de cas,
X
∗ s’obtiendra ` a partir de X en faisant un quotient par un groupe fini G d’automorphismes de X, le groupe G agissant trivialement sur H
3,0 (X), pour assurer ` a