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J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
de sym´ etrie
h
2,1 (X
∗ ) = h
1,1 (X); h
1,1 (X
∗ ) = h
2,1 (X).
Naturellement cette seule sym´ etrie apparente n’est pas suffisante pour faire de
X
∗ la vari´ et´ e miroir de X. Entre X et X
∗ existe une relation plus profonde
qui relie l’espace des d´ eformations de la structure complexe de X ` a l’espace des
d´ eformations de la classe de K¨ ahler de X
∗ et vice-versa. Cette relation est ` a
l’origine des applications conjecturales ` a des propri´ et´ es de g´ eom´ etrie ´ enum´ erative
sur X, comme esquiss´ ees dans le §10. Le lecteur trouvera dans le texte de C.
Voisin [V] une explication plus d´ etaill´ ee. Dans la suite, on va s’attacher ` a pr´ eciser
les aspects qui rel` event de la th´ eorie de Hodge. Ces aspects sont au nombre de
trois :
i) sym´ etrie des nombres de Hodge,
ii) d´ efinition de l’accouplement de Yukawa,
iii) utilisation de la structure Hodge limite pour ´ etudier le comportement asymptotique de l’accouplement de Yukawa.
Ces points sont trait´ es dans les paragraphes qui suivent.
7.B. Construction des vari´ et´ es de Calabi-Yau
Du point de vue de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique, une vari´ et´ e de Calabi-Yau est une
vari´ et´ e (alg´ ebrique) projective lisse (complexe) V , telle que le faisceau canonique
K V est trivial (K V = Ω
n
V
∼ = O V ), et h
p,0 = 0 pour p = 1, . . . , n − 1, (n = dim V ).
On se limite au cas n = 3 ; noter que h
1,0 = 0 implique h
2,0 = 0, car par dualit´ e de
Serre H
1 (V, O V ) est le dual de H
2 (V, O V ), vu que K V ∼ = O V . On exige aussi que
le groupe fondamental π 1 (V ) soit fini, pour ´ eviter des situations marginales. En
g´ eom´ etrie diff´ erentielle ce sont les vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes ` a courbure de Ricci nulle
(se reporter ` a [Dem]), de groupe d’holonomie exactement SU (3). Directement li´ e
` a ceci, il y a le r´ esultat de classification suivant, dˆ u ` a plusieurs auteurs (voir
[Beau]) : Soit X une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte de premi` ere classe de Chern
nulle. Il existe un revˆ etement fini non ramifi´ e
X → X tel que
X est isomorphe ` a
un produit T ×
i
V i
×
j
W j
, o` u T est un tore complexe, V i est une vari´ et´ e
de Calabi-Yau simplement connexe, et W j est une vari´ et´ e symplectique (il existe
une 2-forme holomorphe qui est non d´ eg´ en´ er´ ee en tout point).
Dans le contexte des vari´ et´ es de Calabi-Yau, le tr` es important th´ eor` eme de
Yau [Y1] (conjecture de Calabi) joue bien sˆ ur un role cl´ e :
Th´ eor` eme. (Yau) Soit X une vari´ et´ e de Calabi-Yau avec une m´ etrique
k¨ ahl´ erienne g de forme de K¨ ahler ω ∈ H
1,1 (X). Il existe une unique m´ etrique
k¨ ahl´ erienne g Y ` a courbure de Ricci nulle (m´ etrique de Yau) telle que ω Y ´ etant sa
forme associ´ ee, on ait [ω] = [ω Y ] ∈ H
1,1 (X).
Il est ais´ e de construire des exemples de vari´ et´ es de Calabi-Yau. Soient
H 1 , . . . , H r des hypersurfaces de P
N (N = r + 3), de degr´ e respectifs d 1 , . . . , d r
J. Bertin, Ch. Peters, Partie II. Sym´ etrie miroir
de sym´ etrie
h
2,1 (X
∗ ) = h
1,1 (X); h
1,1 (X
∗ ) = h
2,1 (X).
Naturellement cette seule sym´ etrie apparente n’est pas suffisante pour faire de
X
∗ la vari´ et´ e miroir de X. Entre X et X
∗ existe une relation plus profonde
qui relie l’espace des d´ eformations de la structure complexe de X ` a l’espace des
d´ eformations de la classe de K¨ ahler de X
∗ et vice-versa. Cette relation est ` a
l’origine des applications conjecturales ` a des propri´ et´ es de g´ eom´ etrie ´ enum´ erative
sur X, comme esquiss´ ees dans le §10. Le lecteur trouvera dans le texte de C.
Voisin [V] une explication plus d´ etaill´ ee. Dans la suite, on va s’attacher ` a pr´ eciser
les aspects qui rel` event de la th´ eorie de Hodge. Ces aspects sont au nombre de
trois :
i) sym´ etrie des nombres de Hodge,
ii) d´ efinition de l’accouplement de Yukawa,
iii) utilisation de la structure Hodge limite pour ´ etudier le comportement asymptotique de l’accouplement de Yukawa.
Ces points sont trait´ es dans les paragraphes qui suivent.
7.B. Construction des vari´ et´ es de Calabi-Yau
Du point de vue de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique, une vari´ et´ e de Calabi-Yau est une
vari´ et´ e (alg´ ebrique) projective lisse (complexe) V , telle que le faisceau canonique
K V est trivial (K V = Ω
n
V
∼ = O V ), et h
p,0 = 0 pour p = 1, . . . , n − 1, (n = dim V ).
On se limite au cas n = 3 ; noter que h
1,0 = 0 implique h
2,0 = 0, car par dualit´ e de
Serre H
1 (V, O V ) est le dual de H
2 (V, O V ), vu que K V ∼ = O V . On exige aussi que
le groupe fondamental π 1 (V ) soit fini, pour ´ eviter des situations marginales. En
g´ eom´ etrie diff´ erentielle ce sont les vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes ` a courbure de Ricci nulle
(se reporter ` a [Dem]), de groupe d’holonomie exactement SU (3). Directement li´ e
` a ceci, il y a le r´ esultat de classification suivant, dˆ u ` a plusieurs auteurs (voir
[Beau]) : Soit X une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte de premi` ere classe de Chern
nulle. Il existe un revˆ etement fini non ramifi´ e
X → X tel que
X est isomorphe ` a
un produit T ×
i
V i
×
j
W j
, o` u T est un tore complexe, V i est une vari´ et´ e
de Calabi-Yau simplement connexe, et W j est une vari´ et´ e symplectique (il existe
une 2-forme holomorphe qui est non d´ eg´ en´ er´ ee en tout point).
Dans le contexte des vari´ et´ es de Calabi-Yau, le tr` es important th´ eor` eme de
Yau [Y1] (conjecture de Calabi) joue bien sˆ ur un role cl´ e :
Th´ eor` eme. (Yau) Soit X une vari´ et´ e de Calabi-Yau avec une m´ etrique
k¨ ahl´ erienne g de forme de K¨ ahler ω ∈ H
1,1 (X). Il existe une unique m´ etrique
k¨ ahl´ erienne g Y ` a courbure de Ricci nulle (m´ etrique de Yau) telle que ω Y ´ etant sa
forme associ´ ee, on ait [ω] = [ω Y ] ∈ H
1,1 (X).
Il est ais´ e de construire des exemples de vari´ et´ es de Calabi-Yau. Soient
H 1 , . . . , H r des hypersurfaces de P
N (N = r + 3), de degr´ e respectifs d 1 , . . . , d r