7. Introduction `
a la sym´ etrie miroir
215
Partie II.
Sym´ etrie miroir et vari´ et´ es de Calabi-Yau
7. Introduction ` a la sym´ etrie miroir
La sym´ etrie miroir est un ph´ enom` ene qui a une origine “physique”. Il n’y a pour l’instant
que des d´ efinitions math´ ematiques conjecturales. Le but de ce paragraphe est de sugg´ erer une
d´ efinition tr` es incompl` ete de ce ph´ enom` ene et de mettre en ´ evidence quelques implications
math´ ematiques. Le cadre est la classe des vari´ et´ es dites de Calabi-Yau ; nous d´ ecrivons ces vari´ et´ es
en d´ etail.
7.A. Motivation de la sym´ etrie miroir
La sym´ etrie miroir est un ph´ enom` ene d’origine “physique” qui n’a donc
pas ` a ce jour une d´ efinition math´ ematique d´ efinitive. Rappelons pour exciter la
curiosit´ e du lecteur la d´ efinition qui apparaˆ ıt dans la litt´ erature physique [GP], [C-O-G-P], [P]. Le ph´ enom` ene sym´ etrie miroir vient de l’´ etude des th´ eories
superconformes (2,2) avec charge centrale c = 0. Les propri´ et´ es des champs
conformes de ces th´ eories sont li´ ees ` a la g´ eom´ etrie des mod` eles sigma non
lin´ eaires bas´ es sur des vari´ et´ es de Calabi-Yau. Une d´ efinition pr´ ecise de ces
vari´ et´ es est report´ ee au paragraphe suivant. Disons seulement que ces vari´ et´ es
apparaissent pour assurer l’invariance conforme. Dans ce cadre assez hostile pour
le math´ ematicien g´ eom` etre, les physiciens ont mis en ´ evidence une correspondance
remarquable entre les propri´ et´ es abstraites des champs conformes et les propri´ et´ es
g´ eom´ etriques des r´ ealisations en termes de mod` eles sigma. Cette correspondance
conduit naturellement ` a d´ eformer la structure complexe et (ou) une classe de
K¨ ahler sur une vari´ et´ e de Calabi-Yau. Ce sont les mod` eles A et B des physiciens
[G-P]. L’asym´ etrie apparente qui n’est qu’une ambigu¨ ıt´ e de signe, conduit ` a
des mod` eles g´ eom´ etriques d´ efinitivement distincts r´ ealisant une mˆ eme th´ eorie
conforme des champs. Pour une vari´ et´ e de Calabi-Yau X, de fibr´ e tangent
holomorphe T X , les objets li´ es ` a la mˆ eme th´ eorie H
1 (X, T X ) et H
1 (X, T
∗
X ) =
H
1 (X, Ω
1
X ) sont totalement diff´ erents du point de vue de la g´ eom´ etrie. En fait
dans le §7.C on verra que dim H
1 (X, T X ) est le nombre de param` etres pour la
structure complexe, tandis que dim H
1 (X, T
∗
X ) = h
1,1 (X) est le nombre maximal
de classes de K¨ ahler ind´ ependantes sur X.
Ceci conduit ` a postuler que les vari´ et´ es de Calabi-Yau (on se limite ` a la
dimension trois) doivent apparaˆ ıtre par paires, disons X et X
∗ qui r´ ealisent ces
deux mod` eles. On dit que X
∗ est la vari´ et´ e miroir de X (et vice-versa). Il y a
peut-ˆ etre une d´ efinition physique plus d´ efinitive mais non assimilable telle quelle
math´ ematiquement, que l’on peut r´ esumer en une identit´ e
Z = Z
∗
entre fonctions de partition (int´ egrales de Feynman). Les implications math´ ematiques les plus na¨ ıves sont au niveau des nombres de Hodge de X et X
∗ , la relation
a la sym´ etrie miroir
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Partie II.
Sym´ etrie miroir et vari´ et´ es de Calabi-Yau
7. Introduction ` a la sym´ etrie miroir
La sym´ etrie miroir est un ph´ enom` ene qui a une origine “physique”. Il n’y a pour l’instant
que des d´ efinitions math´ ematiques conjecturales. Le but de ce paragraphe est de sugg´ erer une
d´ efinition tr` es incompl` ete de ce ph´ enom` ene et de mettre en ´ evidence quelques implications
math´ ematiques. Le cadre est la classe des vari´ et´ es dites de Calabi-Yau ; nous d´ ecrivons ces vari´ et´ es
en d´ etail.
7.A. Motivation de la sym´ etrie miroir
La sym´ etrie miroir est un ph´ enom` ene d’origine “physique” qui n’a donc
pas ` a ce jour une d´ efinition math´ ematique d´ efinitive. Rappelons pour exciter la
curiosit´ e du lecteur la d´ efinition qui apparaˆ ıt dans la litt´ erature physique [GP], [C-O-G-P], [P]. Le ph´ enom` ene sym´ etrie miroir vient de l’´ etude des th´ eories
superconformes (2,2) avec charge centrale c = 0. Les propri´ et´ es des champs
conformes de ces th´ eories sont li´ ees ` a la g´ eom´ etrie des mod` eles sigma non
lin´ eaires bas´ es sur des vari´ et´ es de Calabi-Yau. Une d´ efinition pr´ ecise de ces
vari´ et´ es est report´ ee au paragraphe suivant. Disons seulement que ces vari´ et´ es
apparaissent pour assurer l’invariance conforme. Dans ce cadre assez hostile pour
le math´ ematicien g´ eom` etre, les physiciens ont mis en ´ evidence une correspondance
remarquable entre les propri´ et´ es abstraites des champs conformes et les propri´ et´ es
g´ eom´ etriques des r´ ealisations en termes de mod` eles sigma. Cette correspondance
conduit naturellement ` a d´ eformer la structure complexe et (ou) une classe de
K¨ ahler sur une vari´ et´ e de Calabi-Yau. Ce sont les mod` eles A et B des physiciens
[G-P]. L’asym´ etrie apparente qui n’est qu’une ambigu¨ ıt´ e de signe, conduit ` a
des mod` eles g´ eom´ etriques d´ efinitivement distincts r´ ealisant une mˆ eme th´ eorie
conforme des champs. Pour une vari´ et´ e de Calabi-Yau X, de fibr´ e tangent
holomorphe T X , les objets li´ es ` a la mˆ eme th´ eorie H
1 (X, T X ) et H
1 (X, T
∗
X ) =
H
1 (X, Ω
1
X ) sont totalement diff´ erents du point de vue de la g´ eom´ etrie. En fait
dans le §7.C on verra que dim H
1 (X, T X ) est le nombre de param` etres pour la
structure complexe, tandis que dim H
1 (X, T
∗
X ) = h
1,1 (X) est le nombre maximal
de classes de K¨ ahler ind´ ependantes sur X.
Ceci conduit ` a postuler que les vari´ et´ es de Calabi-Yau (on se limite ` a la
dimension trois) doivent apparaˆ ıtre par paires, disons X et X
∗ qui r´ ealisent ces
deux mod` eles. On dit que X
∗ est la vari´ et´ e miroir de X (et vice-versa). Il y a
peut-ˆ etre une d´ efinition physique plus d´ efinitive mais non assimilable telle quelle
math´ ematiquement, que l’on peut r´ esumer en une identit´ e
Z = Z
∗
entre fonctions de partition (int´ egrales de Feynman). Les implications math´ ematiques les plus na¨ ıves sont au niveau des nombres de Hodge de X et X
∗ , la relation