6. Modules de Hodge
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On pourra ainsi regarder un faisceau pervers comme une g´ en´ eralisation d’un
syst` eme local ; la correspondance qui associe ` a un D S -module holonome son
complexe de De Rham induit une ´ equivalence entre la cat´ egorie des D S -modules
holonomes ` a singularit´ es r´ eguli` eres et la cat´ egorie des faisceaux pervers de Cespaces vectoriels (th´ eor` eme de la correspondance de Riemann-Hilbert [Kas], [Me1,
Me2]). Le lecteur pourra se convaincre que ce cadre nouveau est une g´ en´ eralisation
cons´ equente du §2.
Maintenant on suppose, que le syst` eme local H S porte une variation de
structure de Hodge de poids w. La filtration de Hodge induit une filtration dite
bonne M p := F
−p , c’est-` a-dire l’action des op´ erateurs d’ordre 1 envoient M p
dans M p+1 (traduction de la transversalit´ e de Griffiths). Un tel D S -module filtr´ e
est un exemple d’un module de Hodge de poids w. La d´ efinition de ces objets
est tr` es indirecte, comme on va le voir, et c’est un th´ eor` eme difficile de prouver
qu’une variation de structure de Hodge est un module de Hodge. Voir [Sa] pour
une d´ emonstration ainsi que pour des d´ etails de la discussion qui suit.
Saito d´ efinit les modules de Hodge de fa¸ con r´ ecurrente. Il commence par ceux
qui ont leur support dans un point s ∈ S : ce sont simplement les structures de
Hodge (r´ eelles) avec filtration de Hodge croissante (F p := F
−p ). En prenant l’image
directe par l’inclusion s → S on obtient un faisceau constructible dans S consid´ er´ e
comme faisceau pervers et donc comme D S -module. La filtration de Hodge en en
fait un D S -module filtr´ e et on obtient un objet dans la cat´ egorie M F h (D S ) des
D S -modules filtr´ es (pour obtenir une structure r´ eelle, il faut prendre le produit
fibr´ e avec la cat´ egorie des faisceaux pervers r´ eels).
Dans le §4.C, on a rappel´ e la d´ efinition des cycles proches et cycles ´ evanescents
relatifs aux z´ eros d’une fonction holomorphe g : S → C non-constante : ψ g (C S ) =
i
∗ Rk ∗ C ˜
S = i
∗ Rk ∗ k
∗ C S et φ g (C S ) ´ etant le cˆ one sur {C S 0 = i
∗ C S → i
∗ Rk ∗ k
∗ C S }.
Si on remplace C S par un complexe born´ e K
• sur S, on arrive ` a ψ g (K
• ) resp.
φ g (K
• ). On a vu que la monodromie agit sur ces complexes et induit des filtrations
par le poids.
Gabber (voir [Bry]) a montr´ e que pour K
• pervers, ces complexes (d´ ecal´ es
par [−1]) sont des faisceaux pervers sur S 0 et Saito a propos´ e une construction
des foncteurs φ et ψ au niveau des D S -modules holonomes filtr´ es. En particulier
les modules “proches” et “´ evanescents” qui r´ esultent admettent des filtrations par
le poids W • . Saito maintenant compl` ete la d´ efinition r´ ecurrente de ses modules
de Hodge en deux ´ etapes : d’abord il se restreint ` a une sous-cat´ egorie pleine de
M F h (D S ) telle que ses objets poss` edent de bonnes propri´ et´ es par rapport aux
foncteurs φ et ψ et ensuite, il demande qu’un module M dans cette sous-cat´ egorie
soit un module de Hodge si et seulement si c’est le cas pour les modules W -
gradu´ es de ψ g (M) et φ g (M) (plus pr´ ecis´ ement : il faut restreindre au sous-module
maximal sur lequel T agit de fa¸ con unipotente) pour n’importe quelle fonction
g : S → C . Puisque ces modules on un support de dimension strictement plus
petite et puisqu’on connaˆ ıt les modules de Hodge ` a support de dimension 0, la
d´ efinition r´ ecurrente est ainsi compl` ete.
L’application la plus c´ el` ebre du fait qu’une variation de structure de Hodge
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On pourra ainsi regarder un faisceau pervers comme une g´ en´ eralisation d’un
syst` eme local ; la correspondance qui associe ` a un D S -module holonome son
complexe de De Rham induit une ´ equivalence entre la cat´ egorie des D S -modules
holonomes ` a singularit´ es r´ eguli` eres et la cat´ egorie des faisceaux pervers de Cespaces vectoriels (th´ eor` eme de la correspondance de Riemann-Hilbert [Kas], [Me1,
Me2]). Le lecteur pourra se convaincre que ce cadre nouveau est une g´ en´ eralisation
cons´ equente du §2.
Maintenant on suppose, que le syst` eme local H S porte une variation de
structure de Hodge de poids w. La filtration de Hodge induit une filtration dite
bonne M p := F
−p , c’est-` a-dire l’action des op´ erateurs d’ordre 1 envoient M p
dans M p+1 (traduction de la transversalit´ e de Griffiths). Un tel D S -module filtr´ e
est un exemple d’un module de Hodge de poids w. La d´ efinition de ces objets
est tr` es indirecte, comme on va le voir, et c’est un th´ eor` eme difficile de prouver
qu’une variation de structure de Hodge est un module de Hodge. Voir [Sa] pour
une d´ emonstration ainsi que pour des d´ etails de la discussion qui suit.
Saito d´ efinit les modules de Hodge de fa¸ con r´ ecurrente. Il commence par ceux
qui ont leur support dans un point s ∈ S : ce sont simplement les structures de
Hodge (r´ eelles) avec filtration de Hodge croissante (F p := F
−p ). En prenant l’image
directe par l’inclusion s → S on obtient un faisceau constructible dans S consid´ er´ e
comme faisceau pervers et donc comme D S -module. La filtration de Hodge en en
fait un D S -module filtr´ e et on obtient un objet dans la cat´ egorie M F h (D S ) des
D S -modules filtr´ es (pour obtenir une structure r´ eelle, il faut prendre le produit
fibr´ e avec la cat´ egorie des faisceaux pervers r´ eels).
Dans le §4.C, on a rappel´ e la d´ efinition des cycles proches et cycles ´ evanescents
relatifs aux z´ eros d’une fonction holomorphe g : S → C non-constante : ψ g (C S ) =
i
∗ Rk ∗ C ˜
S = i
∗ Rk ∗ k
∗ C S et φ g (C S ) ´ etant le cˆ one sur {C S 0 = i
∗ C S → i
∗ Rk ∗ k
∗ C S }.
Si on remplace C S par un complexe born´ e K
• sur S, on arrive ` a ψ g (K
• ) resp.
φ g (K
• ). On a vu que la monodromie agit sur ces complexes et induit des filtrations
par le poids.
Gabber (voir [Bry]) a montr´ e que pour K
• pervers, ces complexes (d´ ecal´ es
par [−1]) sont des faisceaux pervers sur S 0 et Saito a propos´ e une construction
des foncteurs φ et ψ au niveau des D S -modules holonomes filtr´ es. En particulier
les modules “proches” et “´ evanescents” qui r´ esultent admettent des filtrations par
le poids W • . Saito maintenant compl` ete la d´ efinition r´ ecurrente de ses modules
de Hodge en deux ´ etapes : d’abord il se restreint ` a une sous-cat´ egorie pleine de
M F h (D S ) telle que ses objets poss` edent de bonnes propri´ et´ es par rapport aux
foncteurs φ et ψ et ensuite, il demande qu’un module M dans cette sous-cat´ egorie
soit un module de Hodge si et seulement si c’est le cas pour les modules W -
gradu´ es de ψ g (M) et φ g (M) (plus pr´ ecis´ ement : il faut restreindre au sous-module
maximal sur lequel T agit de fa¸ con unipotente) pour n’importe quelle fonction
g : S → C . Puisque ces modules on un support de dimension strictement plus
petite et puisqu’on connaˆ ıt les modules de Hodge ` a support de dimension 0, la
d´ efinition r´ ecurrente est ainsi compl` ete.
L’application la plus c´ el` ebre du fait qu’une variation de structure de Hodge