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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
des croissements, IH
w (X, H X ) est isomorphe ` a H
w
2 (X, H X ) et donc porte une
structure de Hodge de poids w + v.
6.B. Travaux de Saito
Soit S une vari´ et´ e complexe et H S un syst` eme local d’espaces vectoriels r´ eels.
Le fibr´ e holomorphe associ´ e H S = H S ⊗ O S admet une connexion plate ∇ = 1 ⊗ d.
Donc D S , le faisceau d’op´ erateurs diff´ erentiels sur S agit sur H S (l’action d’un
champs holomorphe ξ est donn´ ee par s → ∇ ξ s) munissant H S d’une structure
de D S - module. En effet, un tel D S -module est un D S -module coh´ erent et mˆ eme
holonome. Les d´ efinitions de ces notions peuvent ˆ etre trouv´ ees en [Bo], o` u on peut
aussi trouver des d´ etails de la discussion qui suit.
Dans le cadre de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique, on rencontre classiquement la
situation o` u S est un ouvert de Zariski d’une vari´ et´ e alg´ ebrique projective X
et D := X \ S est un diviseur. Dans ce cadre, on a la notion de connexion
ayant des singularit´ es r´ eguli` eres le long de D et on sait qu’ici ∇ admet de telles
singularit´ es. On peut mˆ eme montrer que (H S , ∇) → H S ´ etablit une ´ equivalence
entre la cat´ egorie des fibr´ es holomorphes sur S munis d’une connexion ayant des
singularit´ es r´ eguli` eres (le long de D) et la cat´ egorie des syst` emes locaux d’espaces
vectoriels complexes (correspondance de “Riemann-Hilbert”).
On peut ´ etendre la notion de r´ egularit´ e aux D S -modules holonomes et dans
ce cadre il y a aussi une correspondance de “Riemann-Hilbert”. Pour expliquer
cela on a besoin de la notion de faisceau pervers. Remarquons d’abord que la
structure de D S -module permet de d´ efinir un complexe, dit complexe de De Rham
DR(M) := Ω
•
S ⊗ M. On regarde ensuite ce complexe dans une cat´ egorie d´ eriv´ ee
convenable o` u, rappelons-le, on identifie deux complexes lorsque un morphisme de
l’un dans l’autre induit un isomorphisme entre les faisceaux de cohomologie [Ill].
On dit alors qu’ils sont quasi-isomorphes. Dans le cas d’un D S -module provenant
d’un syst` eme local on a seulement un groupe de cohomologie en dimension z´ ero :
le syst` eme local lui-mˆ eme (lemme de Poincar´ e holomorphe). Et donc dans ce cas
DR(H S ) est quasi-isomorphe ` a H S .
Une construction importante dans cette cat´ egorie est celle de la dualit´ e de
Verdier. On ne donne pas les d´ etails ici ; il suffit de savoir que le complexe dual au
sens de Verdier ` a DR(H S ) est repr´ esent´ e par le complexe DR(H
∨
S ) et donc dans
la cat´ egorie d´ eriv´ ee le dual de H S est H
∨
S .
On dit qu’un complexe K
• de faisceaux de C-espaces vectoriels est pervers si
le faisceau de cohomologie en dimension j de K
• ainsi que celui du dual de Verdier
est constructible de support de dimension au plus ´ egal ` a −j. Un mot d’explication :
la convention est telle que le complexe de De Rham d’un D S -module commence
en degr´ e −n et donc un syst` eme local H S est pervers car le support de H S et celui
de son dual est S et donc de dimension n. Plus g´ en´ eralement, un syst` eme local
H S sur un ouvert dense de Zariski S d’une vari´ et´ e alg´ ebrique X s’´ etend de fa¸ con
minimale en un faisceau pervers IC(H S ) sur X. Dans ce cas, si X est compacte
on a IH
w (X, H S ) = H
w (X, IC(H S )).
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
des croissements, IH
w (X, H X ) est isomorphe ` a H
w
2 (X, H X ) et donc porte une
structure de Hodge de poids w + v.
6.B. Travaux de Saito
Soit S une vari´ et´ e complexe et H S un syst` eme local d’espaces vectoriels r´ eels.
Le fibr´ e holomorphe associ´ e H S = H S ⊗ O S admet une connexion plate ∇ = 1 ⊗ d.
Donc D S , le faisceau d’op´ erateurs diff´ erentiels sur S agit sur H S (l’action d’un
champs holomorphe ξ est donn´ ee par s → ∇ ξ s) munissant H S d’une structure
de D S - module. En effet, un tel D S -module est un D S -module coh´ erent et mˆ eme
holonome. Les d´ efinitions de ces notions peuvent ˆ etre trouv´ ees en [Bo], o` u on peut
aussi trouver des d´ etails de la discussion qui suit.
Dans le cadre de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique, on rencontre classiquement la
situation o` u S est un ouvert de Zariski d’une vari´ et´ e alg´ ebrique projective X
et D := X \ S est un diviseur. Dans ce cadre, on a la notion de connexion
ayant des singularit´ es r´ eguli` eres le long de D et on sait qu’ici ∇ admet de telles
singularit´ es. On peut mˆ eme montrer que (H S , ∇) → H S ´ etablit une ´ equivalence
entre la cat´ egorie des fibr´ es holomorphes sur S munis d’une connexion ayant des
singularit´ es r´ eguli` eres (le long de D) et la cat´ egorie des syst` emes locaux d’espaces
vectoriels complexes (correspondance de “Riemann-Hilbert”).
On peut ´ etendre la notion de r´ egularit´ e aux D S -modules holonomes et dans
ce cadre il y a aussi une correspondance de “Riemann-Hilbert”. Pour expliquer
cela on a besoin de la notion de faisceau pervers. Remarquons d’abord que la
structure de D S -module permet de d´ efinir un complexe, dit complexe de De Rham
DR(M) := Ω
•
S ⊗ M. On regarde ensuite ce complexe dans une cat´ egorie d´ eriv´ ee
convenable o` u, rappelons-le, on identifie deux complexes lorsque un morphisme de
l’un dans l’autre induit un isomorphisme entre les faisceaux de cohomologie [Ill].
On dit alors qu’ils sont quasi-isomorphes. Dans le cas d’un D S -module provenant
d’un syst` eme local on a seulement un groupe de cohomologie en dimension z´ ero :
le syst` eme local lui-mˆ eme (lemme de Poincar´ e holomorphe). Et donc dans ce cas
DR(H S ) est quasi-isomorphe ` a H S .
Une construction importante dans cette cat´ egorie est celle de la dualit´ e de
Verdier. On ne donne pas les d´ etails ici ; il suffit de savoir que le complexe dual au
sens de Verdier ` a DR(H S ) est repr´ esent´ e par le complexe DR(H
∨
S ) et donc dans
la cat´ egorie d´ eriv´ ee le dual de H S est H
∨
S .
On dit qu’un complexe K
• de faisceaux de C-espaces vectoriels est pervers si
le faisceau de cohomologie en dimension j de K
• ainsi que celui du dual de Verdier
est constructible de support de dimension au plus ´ egal ` a −j. Un mot d’explication :
la convention est telle que le complexe de De Rham d’un D S -module commence
en degr´ e −n et donc un syst` eme local H S est pervers car le support de H S et celui
de son dual est S et donc de dimension n. Plus g´ en´ eralement, un syst` eme local
H S sur un ouvert dense de Zariski S d’une vari´ et´ e alg´ ebrique X s’´ etend de fa¸ con
minimale en un faisceau pervers IC(H S ) sur X. Dans ce cas, si X est compacte
on a IH
w (X, H S ) = H
w (X, IC(H S )).