6. Modules de Hodge
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complexe et quasi-projective) ont ´ et´ e introduits par Goresky et MacPherson
([G-M]). Cette cohomologie est mieux adapt´ ee aux vari´ et´ es singuli` eres que la
cohomologie ordinaire. Par exemple on a une version de la dualit´ e de Poincar´ e
et les th´ eor` emes de Lefschetz “fort et faible” sont valables. Cheeger, Goresky et
MacPherson ([C-G-M]) ont ´ enonc´ e la conjecture que IH
w (X) porte une structure
de Hodge pure de poids w dans le cas o` u est X projective. Saito [Sa1,2] l’a
d´ emontr´ ee avec sa th´ eorie des Modules de Hodge (voir dessous).
On peut se demander s’il est possible de g´ en´ eraliser la th´ eorie de Hodge
classique (valable pour des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes) par exemple ` a des
vari´ et´ es quasi-projectives en utilisant une m´ etrique de K¨ ahler convenable de telle
sorte que la cohomologie d’intersection d’une vari´ et´ e projective soit calculable en
termes de formes harmoniques sur la partie lisse. En effet, on peut d´ emontrer un
th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge pour des m´ etriques de K¨ ahler compl` etes en
utilisant les formes localement L
2 par rapport ` a la m´ etrique. Dans ce cas, comme
dans le cas classique, la d´ ecomposition des formes harmoniques en composantes de
bidegr´ e pur conduit ` a une d´ ecomposition de Hodge pour les groupes de cohomologie
H
w
2 (X, C) pourvu que ce groupe soit de rang fini. Voir [Dem], §12 et [B-Z],
§3. Donc, si on avait une identification de H
w
2 (X, C) avec IH
w (X, C), on en
d´ eduirait une structure de Hodge sur la cohomologie d’intersection. Il y a toujours
une application naturelle H
w
2 (X, C) → IH
w (X, C) qui est conjecturalement un
isomorphisme. Cette conjecture est vraie pour des espaces ` a singularit´ es isol´ ees (cf.
[Ch1], [Ch2] pour le cas de singularit´ es coniques, et [Ohs1] pour le cas g´ en´ eral) ;
en d´ epit des r´ esultats annonc´ es dans [Ohs2], il semble que le cas de singularit´ es
quelconques soit toujours ouvert.
Il faut remarquer que la conjecture de Cheeger, Goresky et MacPherson est
plus pr´ ecise que la seule existence d’une structure de Hodge sur IH
w (X) : on
demande que
1. IH
w (X) soit canoniquement isomorphe au groupe H
w
2 (X \ SingX), le groupe
de cohomologie calcul´ e en utilisant des formes localement L
2 par rapport ` a la
m´ etrique de Fubini-Study,
2. la structure de Hodge soit induite par cet isomorphisme.
C’est cette conjecture plus fine qui a ´ et´ e d´ emontr´ ee dans le cas des singularit´ es
coniques isol´ ees, mais elle n’a pas ´ et´ e d´ emontr´ ee en g´ en´ eral. Voir [B-Z] § 3 pour
une discussion d´ etaill´ ee.
Deligne a g´ en´ eralis´ e le th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge en rempla¸ cant
C par une variation de structures de Hodge H X ayant pour base X une vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne compacte. Le mˆ eme argument fonctionne dans le cadre L
2 avec X
quasi-projective admettant une m´ etrique k¨ ahl´ erienne compl` ete, pourvu que le
groupe H
w
2 (X, H X ) soit de dimension finie. Il a montr´ e dans ce cas que H
w
2 (X, H X )
admet une structure de Hodge pure de poids w + v (voir [Zu]).
Ensuite, Cattani, Kaplan, Schmid [C-K-S2] et Kashiwara et Kawai [K-K] ont
montr´ e que si X est une compactification lisse de X telle que X \ X est un
diviseur ` a croisements normaux, pour une m´ etrique de type Poincar´ e au voisinage
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complexe et quasi-projective) ont ´ et´ e introduits par Goresky et MacPherson
([G-M]). Cette cohomologie est mieux adapt´ ee aux vari´ et´ es singuli` eres que la
cohomologie ordinaire. Par exemple on a une version de la dualit´ e de Poincar´ e
et les th´ eor` emes de Lefschetz “fort et faible” sont valables. Cheeger, Goresky et
MacPherson ([C-G-M]) ont ´ enonc´ e la conjecture que IH
w (X) porte une structure
de Hodge pure de poids w dans le cas o` u est X projective. Saito [Sa1,2] l’a
d´ emontr´ ee avec sa th´ eorie des Modules de Hodge (voir dessous).
On peut se demander s’il est possible de g´ en´ eraliser la th´ eorie de Hodge
classique (valable pour des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes) par exemple ` a des
vari´ et´ es quasi-projectives en utilisant une m´ etrique de K¨ ahler convenable de telle
sorte que la cohomologie d’intersection d’une vari´ et´ e projective soit calculable en
termes de formes harmoniques sur la partie lisse. En effet, on peut d´ emontrer un
th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge pour des m´ etriques de K¨ ahler compl` etes en
utilisant les formes localement L
2 par rapport ` a la m´ etrique. Dans ce cas, comme
dans le cas classique, la d´ ecomposition des formes harmoniques en composantes de
bidegr´ e pur conduit ` a une d´ ecomposition de Hodge pour les groupes de cohomologie
H
w
2 (X, C) pourvu que ce groupe soit de rang fini. Voir [Dem], §12 et [B-Z],
§3. Donc, si on avait une identification de H
w
2 (X, C) avec IH
w (X, C), on en
d´ eduirait une structure de Hodge sur la cohomologie d’intersection. Il y a toujours
une application naturelle H
w
2 (X, C) → IH
w (X, C) qui est conjecturalement un
isomorphisme. Cette conjecture est vraie pour des espaces ` a singularit´ es isol´ ees (cf.
[Ch1], [Ch2] pour le cas de singularit´ es coniques, et [Ohs1] pour le cas g´ en´ eral) ;
en d´ epit des r´ esultats annonc´ es dans [Ohs2], il semble que le cas de singularit´ es
quelconques soit toujours ouvert.
Il faut remarquer que la conjecture de Cheeger, Goresky et MacPherson est
plus pr´ ecise que la seule existence d’une structure de Hodge sur IH
w (X) : on
demande que
1. IH
w (X) soit canoniquement isomorphe au groupe H
w
2 (X \ SingX), le groupe
de cohomologie calcul´ e en utilisant des formes localement L
2 par rapport ` a la
m´ etrique de Fubini-Study,
2. la structure de Hodge soit induite par cet isomorphisme.
C’est cette conjecture plus fine qui a ´ et´ e d´ emontr´ ee dans le cas des singularit´ es
coniques isol´ ees, mais elle n’a pas ´ et´ e d´ emontr´ ee en g´ en´ eral. Voir [B-Z] § 3 pour
une discussion d´ etaill´ ee.
Deligne a g´ en´ eralis´ e le th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge en rempla¸ cant
C par une variation de structures de Hodge H X ayant pour base X une vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne compacte. Le mˆ eme argument fonctionne dans le cadre L
2 avec X
quasi-projective admettant une m´ etrique k¨ ahl´ erienne compl` ete, pourvu que le
groupe H
w
2 (X, H X ) soit de dimension finie. Il a montr´ e dans ce cas que H
w
2 (X, H X )
admet une structure de Hodge pure de poids w + v (voir [Zu]).
Ensuite, Cattani, Kaplan, Schmid [C-K-S2] et Kashiwara et Kawai [K-K] ont
montr´ e que si X est une compactification lisse de X telle que X \ X est un
diviseur ` a croisements normaux, pour une m´ etrique de type Poincar´ e au voisinage