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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
que ∇ envoie F q en F q−1
O S
Ω
1
S .
Une VCH donne un exemple particulier de fibr´ e de Higgs, c’est-` a-dire un fibr´ e
holomorphe H avec un homomorphisme θ : H → H ⊗ Ω
1
S ayant la propri´ et´ e
d’int´ egrabilit´ e θ ∧ θ = 0. En effet, ici on ´ ecrit H =
p F
p /F
p+1 et on prend pour
θ la somme directe des homomorphismes O S -lin´ eaires F
p /F
p+1 → F
p−1 /F
p
Ω
1
S
induits par ∇.
Le fibr´ e de Higgs provenant d’une VCH en outre est stable par l’action de
C
∗ donn´ ee par t · (H, θ) = (H, tθ). Plus pr´ ecis´ ement, φ t : H → H donn´ ee par
H
r,s ∋ x → t
r x induit un isomorphisme (H, θ) → (H, tθ).
On peut montrer ([Si3], Theorem 4.2) que si S est une vari´ et´ e projective,
chaque syst` eme local (d’espaces vectoriels complexes) donne un fibr´ e de Higgs et
si le syst` eme est semi-simple, le fibr´ e de Higgs (H, θ) provient d’une VCH si et
seulement si la classe d’isomorphie de (H, θ) est C
∗ -invariante. Autrement dit : si
on consid` ere les repr´ esentations du groupe fondamental de S dans C
d , celles qui
portent une VCH sont les repr´ esentations semi-simples fix´ ees par l’action de C
∗ .
Un autre th´ eor` eme de Simpson ([Si3], Theorem 3) dit qu’on peut toujours d´ eformer
une repr´ esentation du groupe π 1 (S) en une telle repr´ esentation. En particulier la
clˆ oture de Zariski G du groupe de monodromie (dans le groupe Gl(d, R)) doit ˆ etre
tr` es sp´ eciale, dite du type Hodge, c’est-` a-dire le rang de G doit ˆ etre ´ egal au rang
du sous-groupe compact maximal de G. Par exemple les groupes Sl(n, R) pour
n 3 ne sont pas du type Hodge.
On d´ eduit de ces r´ esultats qu’un r´ eseau Γ (sous-groupe discret ` a quotient de
volume fini) dans Sl(n, R) (par exemple Sl(n, Z)) ne peut pas figurer comme groupe
fondamental d’une vari´ et´ e projective lisse.
Afin de donner une br` eve indication sur la d´ emonstration, rappelons qu’une
repr´ esentation ρ : π → Gl(d, C) est dite rigide si l’orbite de ρ sous l’action de
Gl(d, C) par conjugaison sur l’espace des repr´ esentations Hom(π, Gl(d, C)) est
ouverte. Donc cette orbite est une composante connexe, car Gl(d, C)) est r´ eductif.
Par le dernier th´ eor` eme de Simpson cette composante contient une VCH et donc
la clˆ oture de Zariski du groupe de monodromie est du type Hodge.
D’autre part, un r´ esultat de Margulis implique que la repr´ esentation naturelle
du r´ eseau Γ est rigide et donc, si Γ ´ etait le groupe fondamental d’une vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne, Sl(d, R) serait du type Hodge, conduisant ` a une contradiction.
Le lecteur trouvera les d´ etails, ainsi que beaucoup d’autres exemples dans [Si3].
6. Modules de Hodge
Le but de ce paragraphe est de donner une introduction aux travaux de Morihiko Saito sur
les modules de Hodge. Une des principales applications est `
a la cohomologie d’intersection trait´ ee
bri` evement dans le §6.A.
6.A. Cohomologie d’intersection et L
2 -cohomologie
R´ ecemment, les groupes de cohomologie d’intersection IH
w (X) (pour X
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
que ∇ envoie F q en F q−1
O S
Ω
1
S .
Une VCH donne un exemple particulier de fibr´ e de Higgs, c’est-` a-dire un fibr´ e
holomorphe H avec un homomorphisme θ : H → H ⊗ Ω
1
S ayant la propri´ et´ e
d’int´ egrabilit´ e θ ∧ θ = 0. En effet, ici on ´ ecrit H =
p F
p /F
p+1 et on prend pour
θ la somme directe des homomorphismes O S -lin´ eaires F
p /F
p+1 → F
p−1 /F
p
Ω
1
S
induits par ∇.
Le fibr´ e de Higgs provenant d’une VCH en outre est stable par l’action de
C
∗ donn´ ee par t · (H, θ) = (H, tθ). Plus pr´ ecis´ ement, φ t : H → H donn´ ee par
H
r,s ∋ x → t
r x induit un isomorphisme (H, θ) → (H, tθ).
On peut montrer ([Si3], Theorem 4.2) que si S est une vari´ et´ e projective,
chaque syst` eme local (d’espaces vectoriels complexes) donne un fibr´ e de Higgs et
si le syst` eme est semi-simple, le fibr´ e de Higgs (H, θ) provient d’une VCH si et
seulement si la classe d’isomorphie de (H, θ) est C
∗ -invariante. Autrement dit : si
on consid` ere les repr´ esentations du groupe fondamental de S dans C
d , celles qui
portent une VCH sont les repr´ esentations semi-simples fix´ ees par l’action de C
∗ .
Un autre th´ eor` eme de Simpson ([Si3], Theorem 3) dit qu’on peut toujours d´ eformer
une repr´ esentation du groupe π 1 (S) en une telle repr´ esentation. En particulier la
clˆ oture de Zariski G du groupe de monodromie (dans le groupe Gl(d, R)) doit ˆ etre
tr` es sp´ eciale, dite du type Hodge, c’est-` a-dire le rang de G doit ˆ etre ´ egal au rang
du sous-groupe compact maximal de G. Par exemple les groupes Sl(n, R) pour
n 3 ne sont pas du type Hodge.
On d´ eduit de ces r´ esultats qu’un r´ eseau Γ (sous-groupe discret ` a quotient de
volume fini) dans Sl(n, R) (par exemple Sl(n, Z)) ne peut pas figurer comme groupe
fondamental d’une vari´ et´ e projective lisse.
Afin de donner une br` eve indication sur la d´ emonstration, rappelons qu’une
repr´ esentation ρ : π → Gl(d, C) est dite rigide si l’orbite de ρ sous l’action de
Gl(d, C) par conjugaison sur l’espace des repr´ esentations Hom(π, Gl(d, C)) est
ouverte. Donc cette orbite est une composante connexe, car Gl(d, C)) est r´ eductif.
Par le dernier th´ eor` eme de Simpson cette composante contient une VCH et donc
la clˆ oture de Zariski du groupe de monodromie est du type Hodge.
D’autre part, un r´ esultat de Margulis implique que la repr´ esentation naturelle
du r´ eseau Γ est rigide et donc, si Γ ´ etait le groupe fondamental d’une vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne, Sl(d, R) serait du type Hodge, conduisant ` a une contradiction.
Le lecteur trouvera les d´ etails, ainsi que beaucoup d’autres exemples dans [Si3].
6. Modules de Hodge
Le but de ce paragraphe est de donner une introduction aux travaux de Morihiko Saito sur
les modules de Hodge. Une des principales applications est `
a la cohomologie d’intersection trait´ ee
bri` evement dans le §6.A.
6.A. Cohomologie d’intersection et L
2 -cohomologie
R´ ecemment, les groupes de cohomologie d’intersection IH
w (X) (pour X