5. Fibr´ es de Higgs
209
que pour j = 0 il y a une diff´ erence : H
0 (φ f (C X )) calcule la cohomologie mais
H
0 (ψ f (C X )) calcule la cohomologie r´ eduite.
L’avantage de cette description d´ ecoule du fait que H
w (X t , Q) = H
w ( ˜
X, Q)
= H
w (ψ
uni
f Q X ) o` u l’ajout “uni” signifie qu’on prend le sous-complexe maximal
de ψ f Q X sur lequel l’action naturelle de la monodromie est unipotente. Donc
on pourra essayer de construire la structure de Hodge mixte au niveau de ce
complexe. C’est que Steenbrink ([St1]) fait dans le cas o` u la monodromie agit de
fa¸ con unipotente et X 0 est un diviseur ` a croisements normaux avec une structure
de vari´ et´ e alg´ ebrique. Navarro-Aznar ([NA]) a g´ en´ eralis´ e ses constructions. Voir
[St2] pour des applications aux singularit´ es isol´ ees. Voir aussi [D-S] o` u on trouve un
joli suppl´ ement du th´ eor` eme de monodromie dans le cas d’une singularit´ e isol´ ee :
si T admet un bloc de Jordan de taille maximale n = dim X – et n´ ecessairement
pour une valeur propre diff´ erente de 1 –, alors il y aura aussi un bloc de taille n − 1
avec la valeur propre 1.
Remarquons finalement que la description ci-dessus sugg` ere en outre qu’on
pourra remplacer C ˜
X = k
∗ C X par un k
∗ K
• , o` u K
• est un complexe de faisceaux
born´ e sur X quelconque, extension qui joue un rˆ ole important dans les travaux de
Saito (voir dessous).
5. Fibr´ es de Higgs
Le but de ce paragraphe est de donner quelques d´ etails sur les travaux de Simpson sur la
construction de variations de structures de Hodge. En particulier nous expliquerons bri` evement
comment ses r´ esultats conduisent `
a des restrictions sur la possibilit´ e qu’un groupe donn´ e soit
le groupe fondamental d’une vari´ et´ e projective lisse (complexe). On trouvera ces r´ esultats dans
[Si3]. Ils reposent sur [Si1] et [Si4]. Le lecteur pourra aussi consulter [Si2]. Pour d’autres r´ esultats
sur les groupes fondamentaux qui portent sur la th´ eorie des fibr´ es de Higgs, voir [A1],[A2], [Z1],
[Z2].
Dans le §3 on a introduit la notion d’une variation de structure de Hodge
polaris´ ee (VHS) de poids w sur une vari´ et´ e de base S suppos´ ee complexe et lisse.
Bri` evement, une telle structure consiste en un quadruple {H, ∇, Q, {H
r,s }} o` u H
est un fibr´ e holomorphe (muni d’une structure r´ eelle), ∇ une connexion plate,
Q une forme bilin´ eaire, (−1)
w -sym´ etrique et ∇-parall` ele, H =
r+s=w H
r,s une
d´ ecomposition en sous-fibr´ es H
r,s diff´ erentiables avec la propri´ et´ e que H
r,s est le
conjugu´ e complexe de H
s,r (une d´ ecomposition de Hodge). De plus, on exige que
les fibr´ es de Hodge F
p =
rp H
r,s soient holomorphes et que ∇ envoie F
p en
F
p−1
Ω
1
S (transversalit´ e de Griffiths). Finalement on exige que la d´ ecomposition
de Hodge soit h-orthogonale par rapport ` a la forme hermitienne et ∇-parall` ele,
d´ efinie par h(x, y) = (−i)
w Q(x, y), et que (−1)
r h soit positive sur H
r,s . Donc on
pourrait aussi partir de {H, ∇, h, {H
r,s }}. Si on oublie la structure r´ eelle, et donc si
on doit laisser tomber la condition H
r,s = H s,r on arrive ` a la notion d’une variation
complexe de structures de Hodge (VCH), pourvu qu’on interpr` ete la transversalit´ e
de Griffiths correctement : non seulement on exige que ∇ : F
p → F
p−1 ⊗ Ω
1
S mais
aussi que les fibr´ es F q def
=
sq H
r,s portent une structure anti-holomorphe telle
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que pour j = 0 il y a une diff´ erence : H
0 (φ f (C X )) calcule la cohomologie mais
H
0 (ψ f (C X )) calcule la cohomologie r´ eduite.
L’avantage de cette description d´ ecoule du fait que H
w (X t , Q) = H
w ( ˜
X, Q)
= H
w (ψ
uni
f Q X ) o` u l’ajout “uni” signifie qu’on prend le sous-complexe maximal
de ψ f Q X sur lequel l’action naturelle de la monodromie est unipotente. Donc
on pourra essayer de construire la structure de Hodge mixte au niveau de ce
complexe. C’est que Steenbrink ([St1]) fait dans le cas o` u la monodromie agit de
fa¸ con unipotente et X 0 est un diviseur ` a croisements normaux avec une structure
de vari´ et´ e alg´ ebrique. Navarro-Aznar ([NA]) a g´ en´ eralis´ e ses constructions. Voir
[St2] pour des applications aux singularit´ es isol´ ees. Voir aussi [D-S] o` u on trouve un
joli suppl´ ement du th´ eor` eme de monodromie dans le cas d’une singularit´ e isol´ ee :
si T admet un bloc de Jordan de taille maximale n = dim X – et n´ ecessairement
pour une valeur propre diff´ erente de 1 –, alors il y aura aussi un bloc de taille n − 1
avec la valeur propre 1.
Remarquons finalement que la description ci-dessus sugg` ere en outre qu’on
pourra remplacer C ˜
X = k
∗ C X par un k
∗ K
• , o` u K
• est un complexe de faisceaux
born´ e sur X quelconque, extension qui joue un rˆ ole important dans les travaux de
Saito (voir dessous).
5. Fibr´ es de Higgs
Le but de ce paragraphe est de donner quelques d´ etails sur les travaux de Simpson sur la
construction de variations de structures de Hodge. En particulier nous expliquerons bri` evement
comment ses r´ esultats conduisent `
a des restrictions sur la possibilit´ e qu’un groupe donn´ e soit
le groupe fondamental d’une vari´ et´ e projective lisse (complexe). On trouvera ces r´ esultats dans
[Si3]. Ils reposent sur [Si1] et [Si4]. Le lecteur pourra aussi consulter [Si2]. Pour d’autres r´ esultats
sur les groupes fondamentaux qui portent sur la th´ eorie des fibr´ es de Higgs, voir [A1],[A2], [Z1],
[Z2].
Dans le §3 on a introduit la notion d’une variation de structure de Hodge
polaris´ ee (VHS) de poids w sur une vari´ et´ e de base S suppos´ ee complexe et lisse.
Bri` evement, une telle structure consiste en un quadruple {H, ∇, Q, {H
r,s }} o` u H
est un fibr´ e holomorphe (muni d’une structure r´ eelle), ∇ une connexion plate,
Q une forme bilin´ eaire, (−1)
w -sym´ etrique et ∇-parall` ele, H =
r+s=w H
r,s une
d´ ecomposition en sous-fibr´ es H
r,s diff´ erentiables avec la propri´ et´ e que H
r,s est le
conjugu´ e complexe de H
s,r (une d´ ecomposition de Hodge). De plus, on exige que
les fibr´ es de Hodge F
p =
rp H
r,s soient holomorphes et que ∇ envoie F
p en
F
p−1
Ω
1
S (transversalit´ e de Griffiths). Finalement on exige que la d´ ecomposition
de Hodge soit h-orthogonale par rapport ` a la forme hermitienne et ∇-parall` ele,
d´ efinie par h(x, y) = (−i)
w Q(x, y), et que (−1)
r h soit positive sur H
r,s . Donc on
pourrait aussi partir de {H, ∇, h, {H
r,s }}. Si on oublie la structure r´ eelle, et donc si
on doit laisser tomber la condition H
r,s = H s,r on arrive ` a la notion d’une variation
complexe de structures de Hodge (VCH), pourvu qu’on interpr` ete la transversalit´ e
de Griffiths correctement : non seulement on exige que ∇ : F
p → F
p−1 ⊗ Ω
1
S mais
aussi que les fibr´ es F q def
=
sq H
r,s portent une structure anti-holomorphe telle